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《高等代数教(学）案（北大版）~~高等代数试题(卷）以与解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、莃高等代数(上)(No.8)芁一、填空题(每小题1分,共8分)罿1．一非空复数集P为数域,若其包含0和1,且对加减乘除四种运算封闭.螅2．设d(x)为f(x),g(x)的一个最大公因式,则d(x)与(f(x),g(x))的关系蒂倍数关系即d(x)＝k(f(x),g(x)).蚀3．设{i1,i2,…,in}={1,2,…,n},则t(i1i2…in)+t(inin-1…i1)=.虿4．设n≥2,a1,…,an两两不同,则的不同根为a1,a2,…,an.袇5．设t1,…,tr两两不同,则ai=(1,ti
2、,…,),i=1,…,r线性无关.袄6．若b可由a1,…,ar唯一表示,则a1,…,ar线性无关.肀7．设a1,…,am为n维向量组,且R(a1,…,am)=n,则n≤m.蒀8．若A为n级实对称阵且AA¢=O,则A=O.蚄二、选择题(每小题1分,共8分)羂1．对于“命题甲：将n(>1)级行列式D的主对角线上元素反号,则行列式变为-D；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有(B).蕿A.甲成立,乙不成立B.甲不成立,乙成立袆C.甲,乙均成立D.甲,乙均不成立螅2．整系数多项式f(x)在Z不可
3、约是f(x)在Q上不可约的(B)条件.肁A.充分B.充分必要C.必要D.既不充分也不必要羈3．设D=
4、aij
5、n,Aij为aij的代数余子式,则=(C).蚆A.DB.-DC.DnD.(-1)nD螇4．下述中,错误的是(D).蒃A.奇数次实系数多项式必有实根B.代数基本定理适用于复数域蚂C.任一数域包含QD.在P[x]中,f(x)g(x)=f(x)h(x)Þg(x)=h(x)莇5．设A,B为n级方阵,mÎN,则“命题甲：
6、-A
7、=-A；命题乙：(AB)m=AmBm”中正确的是(D).薄A.甲成立,乙不
8、成立B.甲不成立,乙成立薁C.甲,乙均成立D.甲,乙均不成立肁6.任n级矩阵A与-A,下述判断成立的是(B).膇A.
9、A
10、=-
11、A
12、B.AX=0与(-A)X=0同解蚅C.若A可逆,则(-A)-1=(-1)nA-1D.A反对称,-A反对称羄7．向量组a1,…,as线性无关Û(C).蒁A.不含零向量B.存在向量不能由其余向量线性表出袈C.每个向量均不能由其余向量表出D.与单位向量等价蚇8．设A,B均为P上矩阵,则由(A)不能断言A≌B.肂A.R(A)=R(B)B.存在可逆阵P与Q使A=PBQ羀C.A与B
13、均为n级可逆D.A可经初等变换变成B蚈三、简要回答(每小题5分,共20分)蒄1．设f(x),g(x)ÎP[x],g(x)¹0,若f(x)=g(x)q(x)+r(x),则(f(x),g(x))=(f(x),r(x))成立吗？为什么？蒅答:不一定成立.如：f(x)=6x2,g(x)=2x,q(x)=3x,r(x)=0,(f(x),g(x))=x,(f(x),r(x))=x2.荿2．设,则当a,b,c,d满足何条件时,A=A¢？A=A2？为什么？莈答:当b=c时,A是一个对称矩阵,因此A=A¢.当a+d=
14、1或c=b=0且a,dÎ{0,1}时,A=A2.直接根据矩阵相等的定义.薆3．若a1,…,as与b1,…,bs均相关,则a1+b1,…,as+bs相关吗？为什么？薃答:不一定.如：a1=(0,2,0),a2=(1,0,1),a3=(2,1,2),b1=(0,-1,0),b2=(-1,0,0),b3=(-1,-1,0),显然a1,a2,a3;b1,b2,b3两组向量均相关,但a1+b1,a2+b2,a3+b3是线性无关的.蝿4．若A,B均为n级阵,且A≌B,则A与B的行向量组等价吗？为什么？聿答：等价
15、。因为A≌B,所以存在可逆矩阵P,Q,使得A=PBQ,设A=(a1,…,an)T,B=(b1,…,bn)T,P=(pij),Q=(Q1,…,Qn),则根据矩阵相等的定义得到薇同理可得到，其中P-1=().蚁四．计算题(每小题10分,共40分)1．2．蒂把f(x)=5x4-6x3+x2+4按x-1的方幂展开.衿解：利用综合除法可得莄1肄1袁-6/5蕿1蒆1/5膂-1/5莁0肆0薇4/5薅0螀螆1莄-1/5蚃1膀0薇4/5莆0螁4/5虿4/5蒇1膄4/5肈1肇4/5芄9/5节4/5螂芆19/5113/5
16、114/51所以f(x)=5x4-6x3+x2+4＝5(x4-x3+x2+)=5[(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+]=5(x-1)4+14(x-1)3+13(x-1)2+4(x-1)+4方法2用待定系数法。1．计算.解：Dn2．求向量组a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-1,2,0),a5=(2,1,5,6)的极大无关组,并求出组中其余向量被该极大无关组线性表出的表达式.解：所以a5=a
