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1、XX学年第二学期期末考试《高等代数》试卷（闭卷A卷）题号—-二三四总分复核人得分-、填空题（每空2分，共20分）.得分阅卷人1.六元实二次型/（XK...XS）的秩尸5,符号差尸1,则二次型的止惯性指数尸・2.A为n级矩阵，
2、A
3、=1,若A有特征值儿则（A丁+E的特征值是・3.・是V（AZ?）±的线性变换，・可对角化的充要条件是＜7有个线性无关的特征向量.4.设（1,1,-1,1）,0=（1,-1,1,1）,则&与0的夹角仏,0）二•5.只与自身合同的矩阵是矩阵.6.设二次型f（xbx2）=2彳+2兀；+4鋼兀2为正定二次型，贝U的取值范围是・7.若线性变换”与厂
4、时是可交换的，则rv（值域）是—了空间.8.设＜7是V（p,n）的线性变换，则＜7的秩+＜7的零度二•9.标准正交基下的度量矩阵为.10.设”是V（q）的线性变换，若內,也，线性相关，贝怙他）。（旳）,・9（匕）一定线性—•（填相关或无关）二、单选题（每小题2分，共10分）得分阅卷人1./是R，-R的映射，对任意的a=（xl9x2,x3）f（a）=x,+x2,则/是（）.A.单射C.双射B.满射D.即非单射也非满射.2.a=（xl9x2）,0=（）W2）是疋中两向量,如下定义的二元实函数（a,0）中,可使F成欧氏空间的是A.（0,0）二兀］必B.（Q,0）=彳+
5、丈C.（Q,0）=石）［+3兀2〉‘23•若都是〃级止定矩阵，则下列结论中止确的是A.AB正定C.A-BIE定D.（°竹正定（B0丿4.A=1A・合同且相似C.相似不合同B.合同不相似D.不合同不相似5.设％与岭分别是齐次线性方程组西+勺+…+兀“"与西=兀2=•••=£的解空间，则c.v1=v2A.B.dimVJ=dimV,D.%㊉V2=Pn三、计算题（每题15分，共60分）得分阅卷人并且f^f2,f3是斫,1.已知斫=（1,0,0）冷2=（0,1,0）冷3=（0,0,1），;7=（1,1,j）；〃2=（1丄0）；〃3=（1，0,0『是h的两组基,$2，5的对偶
6、基，gl，g2，g3是〃1，〃2，〃3的对偶基・求/1、fl，/；到gl，g2，&3的过渡矩阵•2、设人=o0V5CD求A2011.2.设叫二厶術心心），％=厶（久02）,其中^=（uio）^=（-UU）匕=（0,321）：#=（2-1^1）：A屮-1,3,7儿求叫+叫的一组基.a-1b3.设A=-101,己知A的特征值之和为0,特征值之积为-2.b10求（1）a、b的值；（2）求正交矩阵P,使P^AP成对角矩阵.四•证明题（共10分）得分阅卷人设u是斤维欧氏空间，°是v中已知非零向量.K={x
7、（s）=0,xwU}是V的子空间.求证：V]的维数等于n-.《
8、高等代数》参考答案与评分标准（A卷）一.填空题（每空2分，共20分）.4.90°5.01.32.A_2+l3.n6.<17.（78.n9E.10.相关二•单选题（每题2分，共10分）.1.B2.C3.B4.A5.D三.计算题（每题15分，共60分）.1.解：由£],£2,占3到"1，“2，“3的过渡矩阵为（8分）111110-100则由/；，/；，/；到g
9、，g3的过渡矩阵是（7分）_001■01-1-1101.解：
10、AE-A
11、=23-1（10分）（5分）由哈密顿-凯莱定理，得A^=E
12、fljA2011=（A3）67°A=A.注:此答案仅做参考，因为计算方法不止一
13、种，对于其它的做法全对的给满分，不全对者酌情给分!2.解：将⑷，勺，SA，禹作为列向量构成矩阵A，对A作初等行变换，化成阶梯型矩阵1010-1011040001300000由此得出⑦，勺，0i是说+吧的一个基，ftdim（W+1VK）=3.观察矩阵，得到爲二-少+4勺+30「即a}-4a2=3^-/32eW}r>W2由维数公式知，dim（WC]必）=2+2-3=1知少-4勺=（5,-2,-3,-4）是说c也的一个基.4.解：冇特征值的性质易得a=0,h=1由
14、2E-A
15、=0,解得A]=1（二重），=-2当几=1时・，解得正交的特征向量=（-1,1,0）,02=（丄
16、,丄,1、122>当2=-2吋，解得特征向量03=（771）_1,使PSP=1-1VT-1VI丄73丄W丄乔2壽■丄忑O-P(10分)(5分)(5分)(10分)四、证明题(共10分).证：将Q扩充为V的一组正交基ag,...%,因(q,a)=0,故弘wK(i=2,3,.・・,72)对V1P任意0=&a+k2?]2+…+knrjn由(0,q)=...=£](q,q)=0,但(q,q)h0,故$=0（5分）于是0#Q+P2〃2+•••+《〃/
