向量的概念及加法运算

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1、向量及向量的加法运算工作单位:河北省科技工程学校所属专业:汽车工程学科授课教师:梁秀华一、向量的概念和向量的几何表示观察下列日常现象AB北某汽车从A地沿西北方向行进400公里到达B地,位移为Smg=5N放在斜面静止的物体A受力情况:(1)方向沿斜面向上的摩擦力f=1N;(2)方向竖直向下重力mg=5N,.下一页AAf=1N(1)向量的定义在日常生活中,我们遇到的这些既有大小又有方向的量叫向量。（或矢量）（vector)。例：力、速度、加速度、位移等。总结：1数量与向量的区别：向量有方向和大小双重性，不能比较大小。标量只有大小，

2、能进行代数运算。2每个向量都有自己固定的方向和大小。它只于起点和终点有关系。思考思考思考思考思考下一页【思考1】一只老鼠由A向西北逃窜，猫在A处向东追去，因为猫的速度比老鼠快，所以猫能追到老鼠？【思考2】质量、温度、电量这些物理量是向量吗?为什么？【思考3】：某同学绕圆形操场跑了半圈，请问他的位移是不是这个半圆弧？1结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.2结论:不是。因为它们不用方向只用大小就可描述清楚，如温度零上15度。相对于向量来讲，我们把这些量称为标量（scalar)。3结论：不是。在这个过程中，他跑的方向在时刻发生变

3、化，故位移时刻在发生变化，他最后的位移只于起点和终点有关系，即从出发点开始的圆的半径。上一页（2）向量的表示：向量几何表示：从几何的观点看，可用有方向的线段来表示向量，线段的长度表示该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。例下图，向量a可以用来表示。向量的书写：习惯上，手写时在字母上方加一箭头代表矢量，如a。印刷时通常用黑体的小写字母a,b,c…来记向量。aAB（3）有关向量的定义向量的模：向量的大小称为向量的模，如上图向量a的模，记为

4、a

5、或

6、

7、相等向量:具有相同长度和相同方向的两个向量叫做相等向量。【练习】如图1-2的图形

8、中，观察与向量相等的向量。零向量：模等于零的向量称为零向量，记为0或。注意零矢量的方向是任意的。单位向量：若一个向量的长度为1单位，则该向量称为单位向量。【思考】1单位是多少？有几个单位向量？单位向量是否都相等？负向量：与非零向量a长度相等且方向相反的向量称为a的负向量（或a的反向量），记作-a。规定：0的负向量为0。因为向量的长度相等且方向相反，所以共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。如图1-3所示，记作a∥b∥c,任一组平行向量用同一个起点的有向线段表示后，都在同一条直线上，这样的一组向量称为是共线的，否则称为不

9、共线的。注意：显然，零向量与任一向量共线。BACDBACDAabc·OACB图1-2图1-3答案提示:相等向量只与大小和方向有关,与起点无关,故平面内与一向量相等的向量有无数个.练习【练习】如图1-4，在平行四边形ABCD中，找出与向量共线的非零向量。ABCD解：与向量共线的非零向量有下一页二、平面向量的加法运算数能进行运算，有了运算而使数的作用得以充分展现。与数的运算类比，向量能否进行运算呢？思考1：1．某人从A到B，再从B按原方向到C，两次的位移和：ABC2．若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：ACB下一

10、页返运算规律位移的合成上海台北香港上海香港台北上海答案：位移c(台北—上海)。即ABC思考2：1、如图示，从台北乘飞机到上海，要先从台北飞到香港，再从香港飞到上海，则飞机的位移是多少?下一页2．船速为，水速为，则两速度和：ABC以上这些实例都是向量合成在生活中的具体应用，大家不难发现，向量的合成注重的是“实际结果”。（１）向量的加法运算求两个向量和的运算叫做向量的加法.加的结果仍是向量。〈1〉共线向量的加法由思考1中两个例子可以知道，两个共线向量相加，若同向，和向量的方向不变，大小等于向量长度的和；若反向，和向量方向指向长度较长

11、的向量，长度等于二者差的绝对值。图示回忆下一页提示：首尾顺次相连向量相加，和为“起→终”。上述关于向量加法的定义称为向量加法的三角形法则。AO〈2〉不共线向量的加法①不共线向量的三角形法则Ｂ练习（1）在平面内任取一点Oo·位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。还有没有其他的做法？【练习2】AB作法总结【练习1】强调：1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点。2可以推广到n个向量连加34不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则下一页【探索】已知向量、，求作向量+。作法：在平面内取一点，作

12、，则abOABCaabb也可先做由此考虑，既然a+b=b+a，那么，向量加法可能满足交换律吗？再者，显然，这又是向量加法的什么计算法则呢？平行四边形法则BabBaabBaabBa（1）在平面内任取一点O以同起点O为起点的两个已知向量相加，则可以分别以两个向量为邻