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1、新课标高中一轮总复习第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量第63讲空间向量的概念及运算1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直；理解直线的方向向量.3.学会借助向量的坐标运算来证明线线垂直、线面垂直及直线与直线所成的角的计算.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为AC1的共有个()①(+)+②(+)+③(+)+④(+)+DA.1B.2C.3D.4
2、2.已知O、A、B、C为空间四点，又、、为空间的一个基底，则()DA.O、A、B、C四点共线B.O、A、B、C四点共面但不共线C.O、A、B、C四点中有三点共线D.O、A、B、C四点不共面3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,则()CA.x=1,y=1B.x=，y=-C.x=,y=-D.x=-，y=因为a∥b，所以==，所以x=，y=-.4.已知正四面体ABCD的棱长为1，点F、G分别是AD、DC的中点,则·=.因为==(-),所以·=(-)·=(·-)=×(-1)=-.5.已知a、b是空
3、间两向量:若
4、a
5、=2,
6、b
7、=2,
8、a-b
9、=,则cos〈a,b〉=.由
10、a-b
11、2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=22-2a·b+22=7.所以a·b=，所以cos〈a，b〉=a·b
12、a
13、
14、b
15、==.一、空间向量及其加减与数乘运算1.空间向量:在空间,我们把具有①和②的量叫做向量,空间向量也用③表示,并且④的有向线段表示同一向量或相等的向量.2.空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，减法与数乘向量为：=⑤,=⑥，=⑦(λ∈R).大小方向有向线段方向相同且长度相等a+bλa空间向
16、量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：(1)加法交换律:⑧；(2)加法结合律:⑨；(3)数乘分配律:⑩.二、共线向量与共面向量1.如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b,记作a∥b.a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)λ(a+b)=λa+λb11互相平行或重合2.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ使.推论：如果直线l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足
17、等式,其中向量a叫做直线l的方向向量.3.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=.12a=λb13=+ta14xa+yb推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使=..三、空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任意向量p,存在一个惟一的有序实数组x,y,z,使p=.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组x,y,z,使=.15x+y16xa+yb+zc
18、x+y+z17四、两个向量的数量积1.已知空间两个向量a,b,则a,b的数量积为:a·b=,其中〈a,b〉表示向量a，b的,其范围为.2.空间向量的数量积有如下性质：(e为单位向量)(1)a·e=;(2)a⊥b;(3)
19、a
20、2=;18
21、a
22、·
23、b
24、cos〈a,b〉19夹角20［0，π］21
25、a
26、cos〈a,e〉22a·b=023a·a3.空间向量满足如下运算律：(1)(λa)·b=；(2)a·b=;(3)a·(b+c)=.24λ(a·b)25b·a26a·b+a·c题型一空间向量线性运算及应用例1三棱锥O-AB
27、C中，M、N分别是OA、BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量,,表示和.要想用已知向量表示未知向量，只需结合图形，力扣基底，充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律即可.=+=+=+(-)=+[(+)-]=-++.=+=-++=++.用已知向量表示未知向量，一是要选好基底，二是要以图形为指导，利用平面图形的性质，比如重心与中点的特殊量的关系等等.题型二空间向量数量积及应用例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1，CD1和DC1相交于点O,连接AO,求证:AO⊥CD1.因为=+=++=++(+)=+++=++.=
28、+=-+，所以·=(++)·(-+)=-·-·-·+·+·+·=0.所以⊥，即AO⊥CD1.（1）利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化成向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明，但要注意“和向量”的方向.(2)由本例可以看出利用空间向量证明垂直问题要用到空间向量的加法法则，向量的运算以及数量积和垂直条件，是通过向量的计算来完成位置关系的判定.如图所
