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1、§7.6空间向量的概念及其运算教材回扣夯实双基基础梳理1.空间直角坐标系(1)以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴,这时建立了空间直角坐标系O－xyz,其中O为原点,x轴、y轴、z轴分别叫作空间直角坐标系的横轴、纵轴和竖轴.2.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间里,具有______和_______的量叫作空间向量,其大小叫作向量的长度或模.自由向量与向量的_____________无关的向量单位向量长度或模为1的向量(非零向量a的单位向量a0＝________)零向量长度为_______的向量大小方向起点0名称定义
2、相等向量方向_________且模相等的向量相反向量方向相反而模相等的向量向量a,b的夹角a∥b相同名称定义平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,则这些向量叫作共线向量或平行向量.直线的方向向量若A、B是空间直线l上任意两点,则称为直线l的方向向量.(与直线l平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量)法向量如果直线l垂直于平面α,那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量.(所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量)思考探究如何由直线的方向向量求直线的斜率？3.共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理
3、(3)空间向量基本定理如果向量e1,e2,e3是空间三个___________的向量,a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个___________.不共面基底4.空间向量的数量积及运算律(1)两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,即_________________叫作向量a,b的数量积,记作______________,即a·b＝
4、a
5、
6、b
7、cos〈a,b〉.
8、a
9、
10、b
11、cos〈a,b〉a·b(2)空间向量数量积的运算律①结合律
12、:(λa)·b＝_________；②交换律:a·b＝b·a；③分配律:a·(b＋c)＝_______________.5.空间向量的标准正交分解与坐标表示λa·ba·b＋a·c(1)在给定的空间直角坐标系中,i,j,k分别为x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,对于空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得a＝______________.把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解,把___________叫作标准正交基,____________叫作空间向量a的坐标,记作a＝(x,y,z).____________叫作向量a的
13、坐标表示.xi＋yj＋zki,j,k(x,y,z)(x,y,z)(2)若b0为b的单位向量,称a·b0＝
14、a
15、cos〈a,b〉为向量a在向量b上的投影.向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.6.空间向量的坐标运算及其应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a∥b⇔__________⇔a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3,a⊥b⇔___________⇔a1b1＋a2b2＋a3b
16、3＝0(a,b均为非零向量).a＝λba·b＝0课前热身4.(2010·高考广东卷)若向量a＝(1,1,x),b＝(1,2,1),c＝(1,1,1),满足条件(c－a)·(2b)＝－2,则x＝__________.解析:∵a＝(1,1,x),b＝(1,2,1),c＝(1,1,1),∴c－a＝(0,0,1－x),2b＝(2,4,2).∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2,∴x＝2.答案:2考点1空间向量的线性运算考点探究讲练互动考点突破例1【规律小结】用已知向量表示未知向量,以及进行向量表达式的化简时,一定要注意结合实际图形,观察所涉及的向
17、量在图形中的位置特点,选取适当的三角形或平行四边形,以图形为指导是解题的关键,同时注意首尾相接的向量的和向量的化简方法,以及从同一个点出发的两个向量的运算法则,避免出现方向错误.例备选例题(教师用书独具)变式训练例2考点2共线向量定理和共面向量定理的应用(2012·上饶调研)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,【规律小结】应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较:三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面例备选例题(教师用书独
18、具)变式训练2.如图,平行六面体ABCD－A1B1C1D1的棱长都为2,∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°,E是DC的中点,F是B1C的中点.例
