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1、(了解空间向量的概念/掌握空间向量的线性运算/掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直)7.6空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量．(1)空间的一个就是一个向量．(2)向量一般用有向线段表示．同向等长的有向线段表示的向量．(3)空间的两个向量可用的两条有向线段来表示．2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：＝a＋b；．同一或相等同一平面内平移3．运算律：(1)加法交换律：a＋b＝.(2)加法结合律：(a
2、＋b)＋c＝．(3)数乘分配律：λ(a＋b)＝.4．共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ，使.5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使.b＋aa＋(b＋c)λa＋λba＝λbp＝xa＋yb6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使.7．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a，b，在空间任取一点O，作，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉；
3、且规定0≤〈a，b〉≤π，显然有〈a，b〉＝〈b，a〉；若〈a，b〉＝，则称a与b，记作：a⊥b.8．向量的模：设＝a，则有向线段的叫做向量a的长度或模，记作：
4、a
5、.p＝xa＋yb＋zc互相垂直长度9．向量的数量积：已知向量a，b，则
6、a
7、
8、b
9、cos〈a，b〉叫做a，b的，记作a·b，即a·b＝
10、a
11、
12、b
13、cos〈a，b〉．10．空间向量数量积的性质(1)a·e＝
14、a
15、cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)
16、a
17、2＝a·a.11．空间向量数量积运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)＝；(2)
18、a·b＝(交换律)；(3)a·(b＋c)＝(分配律)．数量积a·(λb)b·aa·b＋a·c1．已知向量a∥平面β，向量a所在直线为a，则()A．a∥βB．a⊂βC．a交β于一点D．a∥β或a⊂β答案：D2．如图，在四面体P－ABC中，G为△ABC的重心，且，则＝________.(用a，b，c表示)答案：(a＋b＋c)3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)．若(a＋b)⊥c，则x＝________.解析：a＋b＝(－2,1,3＋x)，(a＋b)·c＝0，∴－2－x＋2(3
19、＋x)＝0，从而x＝－4.答案：－44．如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)解析：答案：计算平行六面体体对角线的长度与求异面直线上两点间的距离实质上是同一问题．利用向量法求平行六面体的体对角线长与几何法相比有着非常明显的优势．【例1】已知在一个60°的二面角的棱上，如右图，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm则CD的长为______．解析：，则＝6
20、2＋42＋82＋2×6×8cos120°＝68.∴
21、
22、＝2(cm)．答案：2cm变式1.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量两两的夹角均为60°，且
23、
24、＝1，则等于()A．5B．6C．4D．8解析：，∴12＋22＋32＋1×2＋2×3＋3×1＝25.则＝5.答案：A利用共面向量定理可解决四点共面和直线与平面平行等问题．【例2】如右图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．证明:取则与b、c共面.即E、F、G
25、、H四点共面.变式2.如右图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.证明:设,则∴与b、c向量共面，即MN∥平面PAD.利用平行向量的充要条件可解决三点共线和直线与直线平行等问题．【例3】如右图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)试证A1、G、C三点共线；(2)试证A1C⊥平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离．解答：(1)证明：可以证明：∴即A1、G、C三点共线．(2)证明：设则
26、a
27、＝
28、b
29、＝
30、c
31、＝a
32、，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，同理可证：⊥，因此A1C⊥平面BC1D.(3)∵＝a＋b＋c，∴＝a2＋b2＋c2＝3a2，即
33、
34、＝a，因此.即C到平面BC1D的距离为a.1．利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题．2．利用共面向量定理，可解决立体几何中，直线在平面内，直线与平面平行以及四点共面等问题．3．要注意
