电路方程的矩阵形式（简

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1、第十五章电路方程的矩阵形式15-1割集对于复杂的电路系统，需要研究系统化建立电路方程的方法——电路方程的矩阵形式及其系统建立法。图G——是结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连到相应的结点上。电路的支路是实体，结点是支路的汇集点。连通图G——图G中任意两个结点间至少有一条支路。本章主要内容：主要介绍电路方程的矩阵形式及其系统建立法。简单介绍电路的状态方程。包括：关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵。割集——连通图G的一个割集是G的一个支路集合。①把一个割集的所有支路移去将使G分为两个部分。②如果少移去一条支路，则G仍是连通的。1(1)在图G上作一闭合曲面，使其包围某些结点，如果把与此

2、闭合面相切割的所有支路移去，G将被分离为两部分，这样的一组支路便构成一个割集(2)Q1~Q7均为割集。连通图(3)注意：支路的集合(a,d,e,f)和(a,b,c,d,e)不是G的割集。(4)同一割集的所有支路电流满足KCL。(5)对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集。2“树”——一个连通图G的“树”T包含G的全部结点和部分支路，而“树”T本身是连通的且不包含回路。树支——树中包含的支路。连支——除树中包含的支路以外的其它支路图中实线为树支，虚线为连支借助“树”的概念可以确定一组独立割集。(2)树是连接全部结点所需的最少支路的集合。(1)连支的集合不能构成一个割集。(

3、3)每一条树支都可以与相应的一些连支构成割集。这种割集称为单树支割集或基本割集。(4)：具有n个结点和b条支路得连通图，其树支数为(n-1)，所以有(n-1)个单树支割集或基本割集，即独立割集组。3基本割集组注意：独立割集不一定是单树支割集。如同独立回路不一定是单连支回路一样。对于右图(1)选支路(2,3,4,6)为树支，其余为连支。(2)G1,G2,G3,G4组成基本割集组。415-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。图的结点与支路的关联性质一、关联矩阵例：对于右图(1)若一条支路与两个结点相连，则称该支路与这两个结点相关联。

4、(2)支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。(3)对于n个结点、b条支路的有向图，其有向图的关联矩阵为Aa=(n×b)阶矩阵。ajk=+1表示支路k与结点j关联且它的方向背离结点ajk=-1表示支路k与结点j关联且它的方向指向结点ajk=0表示支路k与结点j无关结点支路5矩阵中，列对应支路，行对应结点分析以上矩阵，每一列只有两个非零元素，(即每一条支路只与两个结点有关)任何一行可以由其他(n-1)行导出。将Aa中划去任一行，得到如下降阶关联矩阵A注意：被划去的行所对应的结点可以作为参考结点6用一个b阶列向量表示b条支路电流用矩阵A左乘电流列向量i，得到一个(n-1)阶列向

5、量显然，Ai=0——（15-2）是用A矩阵表示的KCL方程7例如，对于右图，有：8用一个b阶列向量表示b个支路电压对于右图，有：(n-1)个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示有是用矩阵A表示的KVL方程——（15-3）9二、回路矩阵(1)一个回路由某些支路组成，则这些支路与该回路关联(2)支路与回路的关联性质可以用回路矩阵描述。(3)对于独立回路为l、支路数为b的有向图，其有向图的回路矩阵(独立回路矩阵)为B=(l×b)阶矩阵。bjk=+1表示支路k与回路j关联,且它们的方向一致bjk=-1表示支路k与回路j关联，且它们的方向相反bjk=0表示支路k与回路j无关例如，右图

6、独立回路数为3，其回路矩阵为：12334回路支路10如果所选独立回路对应一个“树”的单连支回路组(基本回路组)，则此回路矩阵就称为基本回路矩阵Bf。例如，右图选支路(3、5、6)为树支，(1、2、4)为连支。则基本回路矩阵为：123注意：写Bf时，(1)矩阵由第一列开始先排连支，再排列树支。(2)取每一单连支的方向为对应回路的绕行方向，所以有：Bf=[1l¦Bt]显然，Bf中有一个l阶的单位子矩阵11用一个b阶列向量表示b个支路电压用矩阵B左乘电压列向量u，得到一个l阶列向量显然，Bu=0——（15-5）是用B矩阵表示的KVL方程12123对于右图13若l个回路电流用一个l阶列

7、向量表示则每一对应支路电流与回路电流的关联情况为：例如，对于右图，有：123即：为矩阵B表示KCL的矩阵形式——（15-6）14三、割集矩阵(1)一个割集由某些支路构成，则这些支路与该割集关联(2)支路与割集的关联性质可以用割集矩阵描述。(3)对于结点数为n(独立结点为n-1)、支路数为b的有向图，其独立割集数为(n-1)。有向图的割集矩阵(独立割集矩阵)为Q=(n-1)×b阶矩阵。qjk=+1表示支路k与割集j关联,且它们的方向一致qjk=-1表示支路k与割集j关联，且它们的方向相反qjk