原函数与不定积分(II)

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1、第四章不定积分第一节原函数与不定积分一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、小结思考题1通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x);那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发，反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?微分法:积分法:互逆运算一、原函数与不定积分的概念2例定义：3问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.定理1.存在原函数.4问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数

2、）(2)若不唯一它们之间有什么联系？定理2.若，则对于任意常数，证:5证（为任意常数）若和都是的原函数，则定理3.（为任意常数）这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的形式。6不定积分的定义：在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,记作7例1求解解例2求8例3设曲线通过点（1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为9设F(x)是函数f(

3、x)的一个原函数，则曲线y＝F(x)称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲线族。y=F(x)y=F(x)+Cx斜率f(x)不定积分的几何意义10实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表11基本积分表是常数);1213例4求积分解根据积分公式（2）14证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质性质115性质2微分运算与求不定积分的运算是互逆的.或或16例

4、5求积分解例617例7求积分解18说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.例8.求解:原式=例9求19例11.求解:原式=20基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、小结21练习题22作业23练习题答案24