原函数与不定积分(I)

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1、第五章微分法:积分法:互逆运算不定积分微分的逆运算二、基本积分公式三、不定积分的性质(运算法则)一、原函数与不定积分的概念第一节原函数与不定积分第五章一、原函数与不定积分的概念定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示,有多少个?定理1.存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数定理2.也是f(x)的原函数,(其中C为任意常数)证:1)又知故即则(2)f(x)的任意两个原函数之间只相差一个常数.定义2.在区间I上的原函

2、数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C称为积分常数,不可丢!例如,记作不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为例1设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.解设所求曲线为y=f(x)，(x,y)为曲线上任一点，由导数的几何意义和题设条件有{由于sinx是cosx的一个原函数，所以cosx的

3、不定积分是y=sinx+C.于是所求的曲线族为代入初始条件x=0,y=0,求得C=0.故经过点(0,0)的积分曲线为.二、基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k为常数)或或例3.求解:原式=例4.求解:原式=三、不定积分的性质推论:若则例2求解例3求.解例4.求解:原式倍角公式例5.求解:原式例6.求解:原式=例7.求解:原式=例8.求解:原式=内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质5.求下列积分:提示: