原函数与不定积分的概念

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1、第四章不定积分高等数学（上）BTS总体方案设计报告第一节原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I内，可导函数的导函数为，即对，都有或则就称为在区间I上的原函数.例如，故问题1：原函数的存在性问题:原函数函数求导是否存在定理1(原函数存在定理)定义在区间I上的连续函数在I上一定有原函数.即：连续函数必有原函数.问题2：原函数的惟一性问题:(待证)定理2如果函数在区间I上的原函数存在,则它的任意两个不同的原函数只相差一个常数.若为的原函数，则的所有原函数的集合为：证若和都是的原函数,（为任意常数）定义2若为在区间

2、I上的原函数，则称原函数族（为任意常数）为在I上的不定积分，记为积分号被积函数被积表达式称为积分变量--原函数族例1求.解例2求.解例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为，根据题意知由曲线通过点（1，2），故有.因而，所求曲线方程为所以注（１）Ｃ的几何意义：考虑曲线ｙ＝ｆ（ｘ），使得．则ｆ（ｘ）＝ｘ２＋Ｃ．这是一簇由一条积分曲线ｙ＝ｘ２沿纵轴上下平移Ｃ得到的．在横坐标相同的点处的切线是平行的．(2)由不定积分的定义，可知结论微分运算与求不定积分的运算是互逆的.例如(1)(

3、2)(3)二、基本积分表(5)(12)(13)例4求积分.解三、不定积分的性质证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）注:(1)求积分是利用积分表和积分性质来试,要变形,技巧大.设法变形为积分表中函数的线性组合形式,以求出积分的方法称为直接积分法.(2)不是所有函数都肯定能积分出来.往往逆运算都要打破原有体系。例5求积分.解例6求积分.解例7求积分解课堂练习7、☆☆☆8、☆二、符号函数在内是否存在原函数？为什么？没有原函数。反证:假如有原函数。则结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.以上讨论的是跳跃间断点，若x0是

4、可去间断点。函数含有第二类间断点x=0,但它有原函数.思考：若第二类呢？三、下列正确的是:C四、若f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.－sinx+C1x+C2