力学量随时间的演化与对称性

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1、第四章力学量随时间的演化与对称性§4.1力学量随时间的演化在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为(1)(2)一、力学量平均值随时间的变化由薛定谔方程，因为Ĥ是厄密算符(3)这就是力学量平均值随时间变化的公式。若Â不显含t，即:(4)则有:二、守恒量如果Â既不显含时间，Â又与Ĥ对易则有即这种力学量在任何态之下的平均值都不随时间改变。(5)在任意态下，此时A的概率分布也不随时间改变。我们称这样的力学量A为运动恒量或守恒量。[Â,Ĥ]=0同时可以证明：式中即为守恒量在态中的概率，证明守恒量F其概率

2、分布不随时间而变化因为，故具有共同本征函数系，任意状态可表为且概率分布函数其中为时力学量的概率分布函数，所以故有所以即守恒量A的测量概率与时间无关，即概率分布不随时间而变化。概括起来讲，对于Hamilton量Ĥ不含时的量子体系，如果力学量Â既不显含时间，又与Ĥ对易（[Â,Ĥ]=0），则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。守恒量有两个特点：(1)在任何态(t)之下的平均值都不随时间改变；(2)在任意态(t)下A的概率分布不随时间改

3、变。与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量A具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值，即体系将保持在Â的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是，若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即(0)并非Â的本征态，则以后的状态也不是Â的本征态，即A也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。量子力学中的守

4、恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。(b)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。三、举例1、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符：所以自由粒子的动量是守恒量。所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量2、粒子在中心力场中运动：角动量守恒又，都是守恒量。3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒∵不显含t又∵∴∴即守恒（能量守恒）。即空间反

5、演算符，它的作用是把波函数中的它是厄米算符，它的本征值只有，即四、宇称守恒宇称算符态函数的宇称:宇称守恒若体系哈密顿量具有空间反演不变性则即，亦即是一个守恒量，或者说描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。1956年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都遵从宇称守恒，但是，后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性有了新的认识。宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化。四、能级简并与守恒量的关系定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量，则：体系能级一般

6、是简并的。证明：推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本征态），则必为F的本征态。证明：判断下列提法的正误94页。对于自由粒子，，证明动量是守恒量。例题1：例题2：例题3：4.4教材95页。§4.4守恒量与对称性德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称性.他对上述现象作了如下表述：若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射对称或双向对称的.若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对轴的转动的对称性.（一）关于对称

7、性无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.20世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系.爱因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研究引力.20世纪中，人们还看到规范对称性决定着各种相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右不对称，这意味着有对称又有不对称.从上述中已能看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一起来了.一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在

8、量子力学中，运动规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密顿算符，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符的不变性。在量子力学中，我们将看到：能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系。空间旋转不变性与角动量守恒空间反演对称性与宇称守恒空间平移不变性与动量守恒即：这就使体系Hamilton量在变换Q下的不变性的数学表达表明和变换相联系，必有一个守恒量。Q注意：一般不是厄米算符，所以它本