§5.1 力学量随时间的演化.ppt

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1、第五章力学量随时间的演化与对称性§5.1力学量随时间的演化1、守恒量量子力学中力学量的取值问题与经典不同。在一个给定的态ψ（一般为力学量的非本征态）中，力学量的取值有一定的几率分布，从而有平均值的概念。由于波函数随时间变化，力学量的平均值也是随时间变化的。我们下面就研究这个问题。其随时间的变化可以用对时间求导给出：利用Schrödinger方程利用算符的厄米性质从而有故若则有即此时，力学量在任何态中的平均值均不随时间变化。由此容易证明：此时力学量取值的几率也不随时间变化。则有其中证明如下：下面我们看这个几率分布是否随时间变化。将ak代入利用含时

2、方程厄米算符性质（想一想：为什么？）可见A的取值几率分布是不随时间变化的。故A称为守恒量。按照上述定义，量子力学中的守恒量A是指：并有两个重要性质:①平均值不随时间变化②测值几率分布不随时间变化例1例2对于自由粒子例3中心力场中因为而所以可见但是由于即此式表明力学量平均值随时间发生变化有两方面的原因:3.8力学量随时间的变化守恒律体系所处的状态随时间而变化力学量算符是时间的显函数，使随时间变化1、力学量平均值随时间的变化（1）由薛定格方程：代入（1）：因是厄米算符3.8力学量随时间的变化守恒律（2）利用对易子记号则3.8力学量随时间的变化守恒律

3、力学量的平均值不随时间而变化,则称为运动积分，或在运动中守恒。2、运动积分——力学量守恒的条件若：力学量算符不显含时间t，且与哈米顿算符对易则有常量结论:即，3.8力学量随时间的变化守恒律又故自由粒子的动量是运动积分——动量守恒守恒例1：自由粒子的动量不显含时间3.8力学量随时间的变化守恒律哈米顿算符可表示为：角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈米顿算符对易角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。角动量守恒定律！在球坐标系中算符等只是的函数，与时间（r,t）无关，对时间偏微商为0。例2：粒子在辏力场中运动的角动量3.8力学量随时间的变化守

4、恒律例3：哈米顿算符不显含时间的体系能量当不显含t时，又即：能量守恒定律！空间反演算符也称为宇称算符3、哈米顿算符对空间反演时的不变宇称空间反演：反演空间反演算符反演算符的本征值3.8力学量随时间的变化守恒律(偶宇称)(奇宇称)本征值具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。宇称守恒律：若体系的哈米顿算符具有空间反演不变性即则为运动积分，即宇称守恒3.8力学量随时间的变化守恒律Prove：又不显含t，故为运动积分，亦即宇称守恒因此,宇称守恒表示体系的哈米顿算符和宇称算符具有共同本征函数,因而体系能量本征函数可以有

5、确定的宇称，而且不随时间变化。衰变宇称不守恒！3.8力学量随时间的变化守恒律2、量子力学中的守恒量与经典守恒量的区别①守恒量不一定取确定值守恒量是否处于某本征态由初始条件确定:a.若初始时为A的本征态，则体系保持本征态；本征态对应的量子数称为好量子数b.若初始时没有处于A的本征态，则以后任意时刻也不会处于本征态，但是测值几率不随时间变化。②量子力学各守恒量不一定都可同时取确定值，如中心力场中，因而此时它们同时有确定值0。除非在同一个守恒量完全集中。③守恒量与定态的异同（1）概念不一样a.定态是能量取确定值的状态—能量本征态b.守恒量是特殊的力学

6、量，要满足一定条件（2）性质不一样a.在定态下，一切不含t的力学量，不管是否守恒量，其平均值、几率分布都不随t改变。b.守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值、几率分布都不随t改变。可见，不管是定态问题还是力学量问题，都存在力学量的平均值和取值的几率分布不随时间变化问题。所以，只有当体系即非定态，而所研究的力学量又不是守恒量时，才讨论力学量的平均值和取值几率分布随时间的变化问题。作业：P1621,23、能级简并与守恒量的关系----守恒量在能量本征值问题中的应用先介绍一个定理定理：体系有两个彼此不对易的守恒量即则体系的能级一般是简并的。分析：

7、为什么？证明：（利用条件1）（利用条件2）下面证明：而对易算符的作用就是区分不同的简并态。比如故用算符F来区分不同的简并态。证明：（用反证法）设据可知同理，由于下面还可证明，此时至少有些能级是简并的。这样又设所有能级都不简并，则所以，不可能所有能级都不简并，即至少有一些能级是简并的。一般来说能级是简并的（不简并的只是个别能级）（这是必要的）即推论1非简并本征态必为某一守恒量本征态用公式表示为下面予以证明。证明：但能级E不简并例推论2则体系所有能级都简并，而且简并度为无穷大证明：（用反证法）但由题意知这是相互矛盾的，改变n可知，所有能级都简并。下

8、面看简并度是多少。比较以上两式，可以发现只是求和指标μ和ν交换了位置，实际上求和值并没有发生变化。而即由于两式都是对矩阵乘积求迹，如果fn有限，则求迹