1 力学量的平均值随时间的变化

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1、1.力学量的平均值随时间的变化2.守恒量若则A称为守恒量3.守恒量的性质如果力学量A不含时间，若[A,H]=0(即为守恒量)，则无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。第4章力学量随时间的演化与对称性4.经典与量子力学中的守恒量间的关系5.守恒量与定态(1)定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。（2）在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变；而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变(1)与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取确定的数值.守恒量对应的量子数称为好量

2、子数(2)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。6.能级简并与守恒量的关系定理设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0,则体系能级一般是简并的。推论：如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态ΨE，则ΨE必为F的本征态。7.位力定理：设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为r·p的平均值随时间的变化为对定态有则（定态下力学量的平均值不随时间变化）思考题：r·p并不是厄米算符，应进行厄米化这是否会影响位力定理得证明。答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响到定理的证明。例题1设

3、V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即证明8.Feynman-Hellmann定理设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为若H中含有参数λ，则有9.全同粒子体系与波函数的交换对称性(1)两个全同粒子组成的体系(2)N个全同Femi子组成的体系三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个不同的单粒子态φk1,φk2,φk3上，则反对称波函数为Slater行列式N个全同Bose子组成的体系其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，这样的置换数为§4.3Schrödinger图像和Heisenberg图像1.Schrödinger图像力学

4、量不随时间变化，而波函数随时间变化。力学量的平均值波函数随时间演化方程---Schrödinger方程力学量平均值随时间的变化波函数随时间演化可写成称为时间演化算符。(4)代入(2)得到则积分得可以证明：是幺正算符。2.Heishenberg图像波函数不变，算符随时间变化算符的演化方程----Heisenberg方程利用U的幺正性，及U+HU=H则上式称为Heisenberg方程。利用U的幺正性，及U+HU=H则上式称为Heisenberg方程。例题1自由粒子p为守恒量，则p(t)=p(0)=p则例题2一维谐振子而则其解为则根据初始条件则例题3求一维谐振子在态Ψn下的动能和势能的

5、平均值解：一维谐振子的能量本征值为由位力定理知:则所以例题4判断下列说法的正误在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错)(2)设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对)(3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错）(4)中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错）(5)自由粒子处于定态，则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6)一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）证明：对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有则两边同时积分得例题5N=3Bose子体系，设三个单粒子态分别是解：(a)n1=n2=n3=1（只有1个）(b)n1

6、=2,n2=1,n3=0（共有6个）(c)n1=3,n2=0,n3=0（共3个）例题6(4.2)解：(a)两全同波色子单粒子态200020002011101110分布(b)两个全同费米子单粒子态011101110分布（c)两个不同粒子单粒子态200020002011101110分布例题7（4.3）解：设粒子的总数为n，量子态的总数为k.首先对n个粒子进行编号(1)粒子可以分辨每个粒子占据量子态的方式有k种，则n个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有若k=3,n=2,则有若k=3,n=3,则有(2)粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制，波函数对称1234量子态总数若k=3,n

7、=2,则有若k=3,n=3,则有(3)粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（k>n）若k=3,n=2,则有若k=3,n=3,则有量子态总数例题8.三个不计自旋及相互作用的波色体系，其中单粒子可能的态是ψ1,ψ2,试求出体系的归一化波函数。解：例题9现有3个全同的波色子，可以分布在4个不同的量子态上，则该体系可能的状态数目有几种？答：由统计物理学的知识知：3个粒子4个量子态例题10两个无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中，对下列两种情况写出两粒子体系可具有的两个最低总能量值:两