时间演化与薛定谔方程的导出时间演化算符的形式解能量本.ppt

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1、时间演化与薛定谔方程的导出时间演化算符的形式解能量本征矢、定态海森堡运动方程量子力学与经典力学观测量的对应规则Ehrenfest定理薛定谔方程的导出只需利用时间平移的基本性质（但利用了经典力学的哈密顿量是时间平移的生成元的概念）利用力学量算符与经典物理量的对应或经典力学的动量是空间平移生成元及空间平移的基本性质，可导出Ehrenfest定理量子力学包含了经典力学，即经典力学只反映了一（小）部分量子力学描述的规律（力学量算符与经典物理量的对应是可以由量子力学导出经典力学的基础。）九、基矢在薛定谔绘景中，基矢满足。因A与时间无关，故，基矢不随时间变化，这与态矢随时间变化是极不

2、相同的。在海森堡绘景中，由时可推得基矢的本征方程为即基矢随时间变化为。可见海森堡绘景的基矢与薛定谔绘景的态矢旋转方向相反，前者满足错号的薛定谔方程：。注：基矢对应的本征值则由上可知不随时间变化，与么正等价观测量具有相同本征谱这点相一致。十、算符和态矢的展开算符的展开：与基矢随时间按变化的情况一致态矢的展开：两绘景中态矢的展开系数是相同的（薛定谔绘景）基矢态矢（海森堡绘景）基矢态矢基矢与态矢点积对i)基矢不变、态矢反时针旋转，或ii)基矢逆时针旋转相同角度、态矢不变是相同的。注：原则上可以在海森堡绘景中坚持用不随时间变化的基矢，这时展开系数也将不随时间变化。只是这样的话，基矢便

3、不再是时的算符本征态了，理论上更复杂。十一、跃迁振幅初态为A的本征值为a’的本征态，在时间t被发现在B的本征值为b’的本征态的振幅，即跃迁振幅可计算为：薛定谔绘景,态矢为与时间无关，振幅海森堡绘景，态矢不变，基矢反方向演化，，振幅仍为。两图像完全等价两绘景的差别可总结为薛定谔绘景海森堡绘景态矢变化（时间演化算符、薛定谔方程）不变观测量不变变化（幺正变换、海森堡运动方程）基矢不变变化经典力学与量子力学的比较基本假设经典力学量子力学1粒子状态由x(t)和p(t)表征，即是相空间{x,p}中的一个点粒子状态由Hilbert空间中的矢量表征2力学量A是x和p的函数：A=A(x,p)力

4、学量与厄米算符对应，A对应的算符为A(x,p)=A(x,p)3如粒子处于(x,p)状态，测量A的结果为A(x,p)，粒子的状态不变对处于态的粒子，测量A的结果是得到其本征值之一，ai,相应几率为.由于测量，体系的状态变为相应的4体系状态随时间的变化由Hamilton方程给出：态矢服从薛定谔方程2.3简谐振子简谐振子是量子力学中最重要的问题之一，可用于解释量子力学的基本概念与方法，也在近代物理的许多分支包括分子光谱，固体物理，核结构，量子场论，量子光学，量子统计等等领域有重要应用。历史上正是Planck提出辐射振子的分立能量单位而导致了量子概念的产生。对谐振子量子性质的深刻了解

5、是近代物理学者所必需的。谐振子势的基本重要性：可作为大量势场的近似一、能量本征态和能量本征值谐振子的哈密顿量是ω是经典振子的角频率，与弹性常数k的关系是定义两非厄米算符根据x与p的对易关系，得定义故有，H与N对易而有共同本征态。设N的本征态满足，则即能量能征值为二、产生、湮灭和粒子数算符由得即和也是N的本征态,分别对应于本征值n+1和n-1由于把n加1或减1对应于产生或减少一个能量量子，故称和分别为产生和湮灭算符。二、产生、湮灭和粒子数算符(续)由于可写出因，要避免出现要求n为整数，此时将在m>n时截断为零矢量而不出现态。由于n为非负整数，N被称为粒子数算符。最低能量状态即基

6、矢能量为，激发态即正n态的能量为.三、激发态、粒子数表象激发态可由及的性质而写出：……此外有：粒子数表象由可得在n表象中，x和p均非对角（x、p与N不对易）。四、本征波函数用算符的方法可得出坐标空间的能量本征函数。这里表征振子长度。可以解得激发态可求出为上式与厄米多项式是等价的。五、本征态的一些性质由波函数的对称性得：基态时：,。满足最小测不准关系(基态波函数具有高斯形式)。由得有六、振子的时间演化（解法一/海森堡绘景）x，p的海森堡运动方程可表示为这对耦合方程等价于和的独立微分方程：即六、振子的时间演化（续）或得解为与经典x、p的运动形式相同。x、p算符像其经典对应量一样

7、振荡六、振子的时间演化（直接解法）由算符的时间演化直接求出x(t)，p(t)：利用Baker-Hausdorff引理可得类似地，可得出与前面的结果相同的。六、振子的时间演化（续）注意：算符随时间变化不意味着其期待值随时间变。对谐振子要观测到类似于经典振子的振荡，需用能量本征态的叠加对，可验证随时间振荡。以为角频率振荡，与经典振子有些相象。七、相干态对应于非厄米算符的本征态(相干态)是形状不扩展的振荡波包，具有与经典振子振荡最相似的特性。一般为复数以ω为角频率振荡且波包形状不随时间扩展相干态的重要性质包括