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1、第四节全微分方向导数梯度我们以二元函数为主,进行讲解,所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中.一.全微分回忆一元函数的微分可微可导运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.一元函数的增量多元函数的全增量回忆一元微分的几何意义yDyd一元:用切线上的增量近似曲线上的增量.多元:用切平面上的增量近似曲面上的增量.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量二元函数全微分的定义时,若函数在点X0处的全增量可则称函数在点X0处可微,设函数在点的某一邻域称为函数在点X0处的全微分,其中,a,b是与DX内有定义,当获得增量且表示为0有关的常数.无关,仅与X全微分概
2、念的极限形式其中如果函数在区域中的每一点均可微,则称函数在区域上可微.函数在区域上的可微性可微连续可导???在多元函数中,三者的关系如何？可微：连续：可微与连续的关系(可微的必要条件)可微与连续的关系(可微的必要条件)函数在点X0处可微,则必在点X0处连续.可微连续可导?在多元函数中,可微连续可微与可导的关系(可微的必要条件)定理若在点处可微,可微：可微与可导的关系(可微的必要条件)定理则其两个偏导数均存在,且若在点处可微,证若函数可微,则即同理,取可微连续可导在多元函数中,可微可偏导可微连续可导在多元函数中,可微可偏导在多元函数中,可偏导可微?函数在点(0,0)处连续,且
3、有有界的偏导数,但不可微.例1该例留给学生课后研讨参考书：《高等数学中的反例》朱勇等编华中工学院出版社1986年p120~130逆命题?可微连续可导连续可导连续可导Ok定理设在内有定义,可偏导.若,在点处连续,则函数f(X)在点X0处可微.二元函数可微的充分条件证要证明函数f(X)在点X0处可微,即要证利用微分中值定理由偏导数的连续性故同理其中为该极限过程中的无穷小量.从而,函数的全增量又由夹逼定理这一步是怎么得来的？故即函数f(X)在点X0处可微.如果函数在区域中具有连续偏导数和,则称函数为区域中的类函数,记为当不强调区域时,记为二.全微分的计算请看书P28请看书P28全微
4、分的计算全微分的计算例2解将y,z看成常数:将x,z看成常数:将x,y看成常数:故例3若可微,求其全微分.解例4.求u=xyz的全微分.解:故du=yzxyz–1dx+zxyzlnxdy+yxyzlnxdy=xyz–1(yzdx+xzlnxdy+xylnxdy)回头看全微分公式这与物理中的叠加原理相符.三.方向导数回忆一元函数的单侧导数:ABCxOyz.P0Pl.利用点函数推广到方向导数的定义设函数在内有定义.若点沿射线l趋于时,极限l方向的方向导数.记为存在,则称该极限值为函数在点处沿比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中,分母在偏导数中,分母可正、可负.即使l的方向与x轴
5、,y轴的正方向一致时,方向导数与偏导数也是两个不同的概念.单向双向利用直线方程可将方向导数的定义表示为:射线l的方程:则故怎么计算方向导数？方向导数导计算公式若函数在点处可微,则函数在点处沿任一方向的方向导数存在,且其中,各偏导数均为在点处的值.定理例4解例5由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处向导数值都等于1:的两个偏导数均不存在,但它在该点沿任何方向的方向导数均存在,且方此例说明:1.方向导数存在时,偏导数不一定存在.2.可微是方向导数存在的充分条件,而不是必要条件.只与函数在点X0处的偏导数有关.1一个问题：该问题仅在不同时为零才有意义.在给定点沿什么方向增加得最
6、快?可微函数现在正式给出的定义gradu且四.梯度定义设则称向量为函数在点处的梯度,记为或梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值.以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中.在中在中可统一表示为例6解∵∴从而梯度及其运算公式的参考书工程数学《矢量分析与场论》谢树艺高等教育出版社1985年
