全微分方向导数和梯度

《全微分方向导数和梯度》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二、可微的条件一、全微分的概念多元函数的全微分方向导数与梯度第三节第十一章三、方向导数和梯度一元函数y=f(x)：（当一元函数y=f(x)可导时）二元函数z=f(x,y)：函数的微分一、全微分的概念1.问题的提出在点(x,y)的全增量问题的线性函数来近似代替函数的全增量？可否用自变量的增量若z=f(x,y)在点(x,y)处的全增量可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，2.全微分的定义定义11.51°若函数在域D内各点都可微,则称此函数2°由定义可知,f(x

2、,y)在点(x,y)可微的充要条件是:在D内可微.注定理11.1(多元函数可微的必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则(2)函数z=f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有(1)函数z=f(x,y)在点(x,y)连续;从而二、可微的条件1.可微与连续、可导的关系1°习惯上把自变量的增量用微分表示,因此有注全微分的定义可推广到三元及三元以上函数2°可微与连续、可导的关系(二元以上的函数)可微连续可导例1.讨论(1)连续性；(2)可导性；(3)可微性.解(1)(2)(3)例2.讨论函数(1)连续性；(2)可导性；(3)可微性.

3、解(1)=0=f(0,0)(2)2.可微与偏导数连续的关系定理11.2(多元函数可微的充分条件)若函数的偏导数则函数f(x,y)在该点可微.偏导数连续可微例3解例4计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例5.计算函数的全微分.解:求函数时的全增量和全微分.解例6从而当x=2,y=1,△x=0.01,△y=-0.03时可知当全微分在近似计算中的应用1.利用近似公式作计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(用于误差分析)(用于近似计算)三、方向导数１.方向导数的定义设l是xoy平面上以是与l同方向的为始点的定义11.6单位向量.函数z=f(x,y)在

4、点P0(x0,y0)的某个邻域一条射线，内有定义，为l上另一点，且射线l的参数方程为存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l方向导数，记作即2º方向导数的几何意义过点P0沿l作垂直于xoy面的平面，面与曲面z=f(x,y)的交线在曲面上相应点M处的切线(若存在)关于l方向的斜率:该平lTlz=f(x,y)2.方向导数的计算定理11.3且有则函数在该点沿任一方向的方向导数存在,解例7方向导数概念可推广到三元函数：指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A例8.函数解x轴方向夹角为的射线l方向的方向导数.

5、并问:在怎样的方向上此方向导数(1)取得最大值;(2)取得最小值;(3)等于零？解由方向导数的计算公式知例9求函数在点P(1,1)沿与故方向导数达到最小值方向导数达到最大值四、梯度从例9看到,到最大值函数在点P沿哪一方向增加的速度最快？zoPxy=5/4观察向量：恰好与同方向，最大.这是巧合吗？不是！1.定义11.7设二元函数为函数z=f(x,y)在点P处的梯度记作(gradient),在点具有偏导数，称向量例10函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性2.梯度与方向导数的关系1º沿梯度相反方向，方向：f变化率最大的方向模:f的最大

6、变化率之值2º梯度的概念可以推广到三元函数类似于二元函数，此梯度也有上述性质.3.梯度的基本运算公式称为函数4.梯度的几何意义(1)等高线z=f(x,y)的等高(值)线.xyzoL*xyoxyzoz=c2z=c1f(x,y)=c1f(x,y)=c2(2)等高线上的法向量与梯度的关系等高线梯度为等高线上的一个法向量，其指向为：从数值较底的等高线到数值较高的等高线.例11证试证处矢径r的模,例12解内容小结1.微分定义:2.重要关系:偏导数存在函数可微偏导数连续函数连续3.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿

7、方向l(方向角为4.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为5.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.思考与练习函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.1.选择题2.设解:利用轮换对称性,可得注意:x,y,z具有轮换对称性3.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为可知当*二、全微分在近似计算中的应用1.利用近似公式作计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(用于误差分析)(用于近似计算)半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体

8、积减少了例1.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体例2.计算的近似