全微分、方向导数、梯度

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1、高等院校非数学类本科数学课程大学数学（三）多元微积分学第一章多元函数微分学第一章多元函数微分学本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关

2、系。会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道n元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12.理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。第四节全微分方向导数梯度我们以

3、二元函数为主,进行讲解,所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中.一.全微分回忆一元函数的微分可微可导运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.一元函数的增量多元函数的全增量回忆一元微分的几何意义yDyd一元:用切线上的增量近似曲线上的增量.多元:用切平面上的增量近似曲面上的增量.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量二元函数全微分的定义时,若函数在点X0处的全增量可则称函数在点X0处可微,设函数在点的某一邻域称为函数在点X0处的全微分,其中,a,b是与DX内有定义,当获得增量且表示为0有关的常数.无关,仅与X全微分概念的极限形式其中如果函数在区域中

4、的每一点均可微,则称函数在区域上可微.函数在区域上的可微性可微连续可导???在多元函数中,三者的关系如何？连续：可微与连续的关系(可微的必要条件)可微：什么关系?函数在点X0处可微,则必在点X0处连续.可微与连续的关系(可微的必要条件)可微连续可导?在多元函数中,可微连续可微与可导的关系(可微的必要条件)可微：定理若函数可微,则即同理,取证可微连续可导在多元函数中,可微可偏导可微连续可导在多元函数中,可微可偏导在多元函数中,可偏导可微?例在点(0,0)处连续,且有有界的偏导数,但不可微.该例留给学生课后研讨参考书：《高等数学中的反例》朱勇等编华中工学院出版社1986年p120~

5、130逆命题?可微连续可导连续可导连续可导Ok二元函数可微的充分条件定理利用微分中值定理由偏导数的连续性要证明函数f(x,y)在点处可微,即要证证故同理其中为该极限过程中的无穷小量.从而,函数的全增量又即函数f(x,y)在点处可微.故由夹逼定理,得如果函数在区域中具有连续偏导数和,则称函数为区域中的类函数,记为当不强调区域时,记为全微分的计算请同学自己看书!将y,z看成常数:将x,z看成常数:例解将x,y看成常数:故例解回头看全微分公式这与物理中的叠加原理相符.二.方向导数回忆一元函数的单侧导数:ABCxOyz.P0Pl.利用点函数推广到方向导数的定义设函数在内有定义.若点沿射线

6、l趋于时,极限l方向的方向导数.记为存在,则称该极限值为函数在点处沿比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中,分母在偏导数中,分母可正、可负.即使l的方向与x轴,y轴的正方向一致时,方向导数与偏导数也是两个不同的概念.单向双向利用直线方程可将方向导数的定义表示为:射线l的方程:则故怎么计算方向导数？方向导数导计算公式若函数在点处可微,则函数在点处沿任一方向的方向导数存在,且其中,各偏导数均为在点处的值.定理例解由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处向导数值都等于1:的两个偏导数均不存在,但它在该点沿任何方向的方向导数均存在,且方此例说明:1.方向导数存在时,偏导数不一定存在.2

7、.可微是方向导数存在的充分条件,而不是必要条件.例只与函数在点X0处的偏导数有关.1一个问题：该问题仅在不同时为零才有意义.在给定点沿什么方向增加得最快?可微函数现在正式给出的定义gradu且三.梯度定义设则称向量为函数在点处的梯度,记为或梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值.以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中.在中在中可统一表示为∵∴从而例解设点电荷q位于坐标原点,在点处的电位为其中,为介电系数,求电位v的梯度.其中,负号说