信号与线性系统分析 第4章

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1、4连续系统的频域分析4.1············信号分解为正交函数4.2····························傅里叶级数4.3····················周期信号的频谱4.4················非周期信号的频谱4.5················傅里叶变换的性质4.6·····················能量谱和功率谱4.7········周期信号的傅里叶变换4.8·············LTI系统的频域分析4.9··························

2、······取样定理14.1信号分解为正交函数在线性空间中，任何矢量可用相互垂直的单位矢量表示。这组矢量称为正交矢量集。一.正交函数集正交函数：函数1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交，则正交函数集：n个函数1(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)内构成的正交函数集{i(t)}满足2Ki为常数，如果Ki＝1，则称该函数集为归一化正交函数集。完备正交函数集：在正交函数集之外，不存在函数与之正交。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。正交复函数的定义：正交函数集例：（在区间[t0，t0+T]，且T

3、=2）三角函数集：{1，cos(nt)，sin(nt)；n＝1，2，3，…}复指数函数集：{ejnt；n＝0，1，2，…}3二.信号分解为正交函数对任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取均方误差要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极值得4于是可得误差均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。5当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交

4、分量的能量之和。因此f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和64.2傅里叶级数周期信号在区间(t0，t0＋T)上可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由其展开的级数统称为傅里叶级数。一.周期信号的分解设有周期信号f(t)，可分解为an、bn称为傅里叶系数。可由下式求得7an是n的偶函数，即a−n＝an；bn是n的奇函数，即b−n＝−bn。f(t)分解式的另一种形式式中A0=a08例：将方波信号展开为傅里叶级数。1f(t)t-T-1T解：傅里叶系数为9傅里

5、叶级数的展开式为10图示方波信号分解吉布斯(Gibbs)现象：当n时，在间断点处有9%的偏差。如果方波信号如图所示1f(t)t-T-1T则傅里叶级数的展开式为11二.奇、偶函数的傅里叶系数根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为f(t)为奇函数，则系数为12任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分f(t)＝fod(t)＋fev(t)由于f(−t)＝fod(−t)＋fev(−t)＝−fod(t)＋fev(t)所以例f(t)=e−t(t)，则0tf(t)0.5−0.50tf(t)0.513Ff(t)t-TTF

6、f(-t)t-TTFfod(t)t-TTFfev(t)t-TT半波整流波形14全波整流信号f1(t)=E

7、sin0t

8、Ef1(t)t-TT15求半波整流信号f2(t)＝Esin(0t)(sin0t)的傅立叶级数。Ef2(t)t-TT半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：16f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相，即对称于横轴f(t)＝−f(tT/2)1f(t)t-TT奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含偶次谐波。17三.傅里叶级数的指数形式因为cosx＝(ejx＋e−jx

9、)/2，所以A−n＝An−n＝−n18Fn称为复傅里叶系数，计算式为19傅里叶级数小结：204.3周期信号的频谱一.周期信号的频谱周期信号的傅里叶级数An、Fn、n与n有关，也即与频率有关。An或

10、Fn

11、与之间的关系称为幅频特性，相应地可画出频谱图，称为幅度频谱。n与之间的关系称为相位频谱。周期信号的频谱只在＝n处取值，是离散频谱。21Sa(x)二.周期矩形脉冲的频谱01T/2-T-/2f(t)t定义取样函数为Sa(x)为偶函数22所以在频谱图上＝n处，存在谱线，谱线间隔为。T不变：减

12、小，幅度减小，一周内谱线增加，间隔不变。不变：T增加，幅度减小，谱线间隔变密。图示频谱图。信号能量集中在第一个零点内，＝2/＝2f0。定义周期矩形脉冲信号的频带宽度为：F=f0=1/。23三.周期信号的功率周期信号的归一化平均功率这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。例：幅度为1，脉冲宽度为0.2，周期为1的矩形脉冲信号，信号功率为24其