信号与线性系统分析第4章.ppt

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1、§4.0引言第四章傅里叶变换和系统的频域分析时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；而yzs(t)=h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数

2、函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决

3、为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。§4.1信号分解为正交函数矢量正交与正交分解信号正交与正交函数集信号的正交分解第四章傅里叶变换和系统的频域分析一、矢量正交与正交分解矢量正交的定义：指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)的内积为0。即正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，

4、2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备.矢量A=(2，5，8)表示为A=vx+2.5vy+4vz矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间。二、信号正交与正交函数集1.信号正交：定义在(t1，t2)区间的1(t)和2(t)满足(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：若n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。3.完备正交函数集：

5、如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。(i=1，2，…，n)三、信号的正交分解设有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为

6、f(t)≈C11+C22+…+Cnn如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为即所以系数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备

7、正交函数集中分解的各正交分量能量的之和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和小结函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和巴塞瓦尔能量公式§4.2傅里叶级数傅里叶级数的三角形式波形的对称性与谐波特性傅里叶级数的指数形式一、傅里叶级数的三角形式1.三角函数集在一个周期内是一个完备的正交函数集。由积分可知{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}2．级数形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅

8、里叶级数系数an,bn称为傅里叶系数可见，an是n的偶函数，bn是n的奇函数。其他形式式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分量A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同A2cos(2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。可见：An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=–A