信号与线性系统分析第6章.ppt

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1、6.1z变换6.2z变换的性质6.3逆z变换6.4z域分析一、基本内容第六章离散系统的z域分析10/9/2021z变换及其性质，LTI离散系统的z域分析方法。二、重点z变换与拉普拉斯变换的关系。三、难点10/9/20216.1z变换一、从拉普拉斯变换到z变换设有连续时间信号f(t)，每隔时间T取样一次，这相当于连续时间信号f(t)乘以冲激序列δT(t)，得取样信号fs(t)两边取双边拉普拉斯变换，得由于10/9/2021令z=esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示上式称为序列f(kT)的双边z变换。比较上两式可知，当令z=esT时，序列f(kT)的z变换就等于取样信号fs(t)的拉普

2、拉斯变换，即复变量z与s的关系是z=esT10/9/2021如果有离散序列f(k)(k=0,±1,±2,…)，z为复变量，则序列f(k)的双边z变换为若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。F(z)=Z[f(k)],f(k)=Z-1[F(z)]；f(k)←→F(z)6.1z变换序列f(k)的单边z变换为二、z变换10/9/2021三、收敛域z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。收敛域的定义：对于序列f(k)，满足所有z值组成的集合称为

3、z变换F(z)的收敛域。10/9/2021例1求以下有限序列的z变换(1)f1(k)=(k)↓k=0(2)f2(k)={1,2,3,2,1}解(1)可见，其单边、双边z变换相等。与z无关，所以其收敛域为整个z平面。(2)f2(k)的双边z变换为F2(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2收敛域为0<z<∞f2(k)的单边z变换为收敛域为z>0对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时它在0或/和∞也收敛。10/9/20211．收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。对于任意给定的序列f(k)，能使ROC:Regionofconvergence不同的f(k)的z变换，由于收

4、敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。10/9/20212．两种判定法1．比值判定法若有一个正项级数，则：<1：收敛=1：可能收敛也可能发散>1：发散即令正项级数的一般项的n次根的极限等于，则<1：收敛=1：可能收敛也可能发散>1：发散2．根值判定法10/9/20213．讨论几种情况1．有限长序列的收敛域2．右边序列的收敛3．左边序列的收敛4．双边序列的收敛10/9/20212．右边序列的收敛ROC：10/9/20213．左边序列的收敛ROC:10/9/20214．双边序列的收敛10/9/20214．总结★f(k)的收敛域（ROC）为z平面以原点为中

5、心的圆环；★ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；★有限长序列的ROC为整个z平面（可能除去z=0和z=）；★右边序列的ROC为的圆外；★左边序列的ROC为的圆内；★双边序列的ROC为的圆环。10/9/2021例2求因果序列的z变换（式中a为常数）。解：代入定义可见，仅当az-1<1，即z>a时，其z变换存在。收敛域为

6、z

7、>

8、a

9、10/9/2021例3求反因果序列的z变换。解可见，b-1z<1,即z<b时，其z变换存在，收敛域为

10、z

11、<

12、b

13、10/9/2021例4双边序列f(k)=fa(k)+fb(k)=解的z变换。可见，其收敛域为a<z<b（显然要求

14、a<b，否则无共同收敛域)序列的收敛域大致有一下几种情况：（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；10/9/2021注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。例f1(k)=2k(k)←→F1(z)=,z>2f2(k)=–2k(–k–1)←→F2(z)=,z<2对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。常用序列的z变换：(k)←→1，z>0(k)，z>1，z<1–

15、(–k–1)10/9/2021一、线性6.2z变换的性质本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。若f1(k)←→F1(z)1<z<1,f2(k)←→F2(k)2<z<2对任意常数a1、a2，则a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)其收敛域至少是F1(z))与F2(z)收敛域的相交部分。例：2(k)+3(k)←→2+，z