人大微积分课件11-1常数项级数的概念和性质

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1、第一节常数项级数的概念和性质问题的提出二常数项级数的概念四收敛级数的基本性质三级数收敛的必要条件1.计算半径为R圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积即一、问题的提出1.级数的定义(常数项)无穷级数级数的部分和部分和数列一般项二、常数项级数的概念2级数的收敛与发散当无限增大时，如果级数的部分和数列有极限，即则称无穷级数收敛，这时极限叫做级数的和.并写成余项如果没有极限,则称无穷级数发散.即常数项级数收敛(发散)存在(不存在)误差为即解如果时例1讨论等比级数(几何级数)当时收敛发散当时如果

2、时发散当时,当时,级数变为发散不存在,综上解例2判别级数的敛散性.,级数收敛,和为定理若级数收敛,则证明则三、级数收敛的必要条件注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;2.必要条件但不充分.有但级数是否收敛?例如:调和级数发散例如讨论假设调和级数收敛,其和为于是这是不可能的便有故该级数发散,即调和级数发散.8项4项2项2项项同时还可以做以下证明：每项均大于,即前项大于.由性质4推论,调和级数发散.故该级数发散.结论级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论收敛级数可以逐项相加与逐项相

3、减.性质1如果级数收敛,则亦收敛.性质2设两收敛级数,，则级数收敛,其和为.四、收敛级数的基本性质证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质3如果级数收敛,则亦收敛.,且其逆亦真.则证明则性质4收敛级数加括号所成的级数仍然收敛,且其和不变.注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散例如推论如果加括号后所成的级数发散,则原来的级数也发散.例3判别级数解将原级数先加括号得该级数发散.的敛散性.收敛,发散.