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《高等数学11-1常数项级数的概念和性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数第十一章1常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件第一节2一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正3定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为一般项4部分和数列级数的部分和当n=1，2，3，时又形成一个新的数列，
2、5当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然收敛,并称S为级数的和,记作则称无穷级数6无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．7观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放8例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为92).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,则级数
3、成为不存在,因此级数发散.10例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和11(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和12例3：对级数做如下推导：设于是所以s=-1.判断上述结论是否正确，说明理由。13例4.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为14二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.15性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数
4、也收敛,其和为16说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)练习判别级数的敛散性。7/217性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数18性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后
5、的级数发散,则原级数必发散.因此必有用反证法可证例如19注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散发散的级数加括号可能收敛，故不能用加括号的方法判别原级数收敛，但可以用加括号的方法判别原级数发散。给了一个级数后,要判断收敛还是发散，可以按照级数的特点加括号,但是想的是希望它是发散的.若加括号以后收敛了,那么什么结论都得不到.20例5.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.21三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.22注意
6、:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.讨论1事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.23讨论2在区间[n，n+1]上对函数lnx使用拉格朗日中值定理，248项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发散.讨论325例6.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.26因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)27这说明原级数收敛,其和为3.(3)28作业P1921(1),(3)；3(2)；4(1),(3),(5);29思考题30思考题解答能．由柯西审敛原理即知．31练习题323
7、3练习题答案34观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推35观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推36观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推37观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推38观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推39观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推4041
