《高阶微分方程》PPT课件(I)

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1、名家之言“有很多人很聪明，却被聪明所误。”“样样好，样样也干不好。”学会欣赏名言警句车尔尼雪夫斯基人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小!在今天和明天之间，有一段很长的时间；趁你还有精神的时候，学习迅速办事!歌德读书之法,在循序而渐进,熟读而精思!朱熹第四章高阶微分方程主要内容微分方程的一些基本概念及其应用；一阶微分方程的初等求解方法;一阶微分方程解的存在定理及其分析性质。一、复习结论求解微分方程的一些基本方法；微分方程解的性质。二、引言在前面的讨论中已经看出，在实际问题中除了已讨论的一阶微分方程外，还将遇到一些其它类型的非一阶的微分方程，即高阶微分方程，也就是二阶及二阶以上的微分

2、方程。对于高阶微分方程度基本理论（包括存在唯一性定理）和求解方法，分两步来处理：对于线性微分方程（组）在本章和下一章讨论；而非线性微分方程（组）在第六章讨论。在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用。所以，本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数微分方程的解法，对于高阶微分方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作适当地介绍。二、引言主要内容线性微分方程的一般理论;常系数线性微分方程的解法;高阶微分方程的降阶和幂级数解法.本章重点

3、线性微分方程的基本理论;常系数微分方程的解法.主要手段转化法，即简化问题.三、主要内容和方法一般的n阶线性微分方程为这里是的已知函数。主题：讨论下列形式微分方程的解及其结构.4.1线性微分方程的一般理论1、n阶线性微分方程称（4.2）为n阶齐次线性微分方程，简称齐线性微分方程。4.1.1基本概念和主要定理2、n阶齐次线性微分方程定义：（n阶齐次线性微分方程，或齐线性方程）称（4.2）为n阶齐线性微分方程，简称齐线性方程。3、基本概念定义：（n阶非齐次线性微分方程，或非齐线性方程）而一般的方程（4.1）称为n阶非齐线性微分方程，或简称非齐线性方程，并且通常把方程（4.2）叫做对应于方程（4.

4、1）的齐线性方程。4、高阶微分方程解的存在唯一定理则对于任一及任意的，方程（4.1）存在唯一解，定义在区间上，且满足初始条件：如果及都是区间上的连续函数，定理1证明：利用线性微分方程组的相关理论证明（在此略）。以后将给出该定理的证明。4.1.2齐线性方程的解的性质与结构当k=n时，有在什么条件下，表达式（4.4）能构成为n阶齐次线性方程（4.2）的通解？它将具有什么特性？为此，先研究函数组的相关性。1、叠加原理(定理2)2、问题如果是方程（4.2）的k个解，则它们的线性组合也是齐次线性微分方程（4.2）的解，这里是任意常数。注：齐次线性微分方程的任意k个解的线性组合仍然是这个方程的解。3、

5、函数的相关性考虑定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数，使得恒等式对于所有都成立，则称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关的。线性无关的；线性相关的.4、函数组的伏朗斯基（Wronsky）行列式由定义在区间上的k个可微k-1次的函数组所作成的行列式定理3若函数在区间上n-1次可微且线性相关，则在[a,b]上它们的伏朗斯基（Wronsky）行列式为零，即有.证明（理论基础）：线性方程组的解理论。(除教材上p123的证明方法外，还可以用反证法。)方法：构造法证明，即构造一个以伏郎斯基行列式为系数行列式的线性方程组。注：该定理的逆命题不一定成立。如下函数：要求：同学们验

6、证。结论：定理3的条件必要而不充分，即W(t)=0是函数组线性相关的必要条件，而不是充分条件。但是，如果是齐线性微分方程（4.2）的解，则有如下定理：定理4如果方程（4.2）的解在区间上线性无关，则在[a,b]内的任何点上都不等于零，即有：证明的基本思想：反证法，并用构造法进行证明，以及解的唯一性定理。证明：采用反正法。设有某个使得。考虑关于的齐次线性代数方程组(4.9)根据假定，线性方程组(4.9)有非零解。现以这组常数构造函数根据叠加原理，是方程(4.2)的解，注意到(4.9)，知道这个解满足初始条件(4.10)但是显然也是方程(4.2)的满足初始条件(4.10)的解，由解的唯一性定理

7、，即知，即因为不全为0，这就与线性无关的假定矛盾。命题得证。注释：根据定理3和定理4知道，由n阶齐线性方程（4.2）的n个解构成的伏朗斯基行列式，或等于零，或在方程的系数函数为连续的区间内处处不等于零。并根据定理1，构造一组初始条件：满足这组初始条件的解一定存在，且又因为于是由定理3知道，这n个解一定是线性无关的。于是有：定理5n阶齐线性方程（4.2）一定存在n个线性无关的解。于是由定理3知道，这n个解一定是线性无关的。