《高阶微分方程小结》PPT课件

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1、高阶微分方程小结第十二章总结一　基本要求：1了解微分方程的基本概念:微分方程的定义、阶、解、通解、积分曲线、特解、初始条件、初值问题；2会判断变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程；3掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程和伯努利方程；5理解二阶线性微分方程解的结构；6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；7掌握自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式．基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.线性方程5.伯努利方程变量代换可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4二阶常系数线性方程解的结构特征方程及其根对应的通解形式f(x)

2、的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法二　内容提要1.基本概念微分方程微分方程的阶微分方程的解：通解特解初始条件初值问题(1)可分离变量的微分方程2.一阶微分方程的解法(2)齐次方程作变量代换分离变量法解法解法(3)一阶线性微分方程齐次方程的通解为（分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为（常数变易法）(4)伯努利(Bernoulli)方程解法需经过变量代换化为线性微分方程．3.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次,得通解．型解法型解法4.线性微分方程解的结构(1)二阶齐次方程解的结构:解的叠加(2)二阶非齐次线性方程的解的结构:定理3设y*是(2)的一个特解,Y是与(2)对

3、应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.那么叠加5.二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为微分方程特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：n阶常系数齐次线性方程解法6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法通解用待定系数法求特解设特解的形式答：选择C问题1三问题与思考问题2.以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为答：正确.例1解代入方程，得故方程的通解为四　典型题目例2解方程两边求导两边再求导，得由原方程和(1)式,得初始条件求解初值问题例3试确定以解从而相应的二阶常系数线性齐次微分方

4、程为为特解的二阶常系数齐次线性方程.例4解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设由解得故原方程的通解为由即例5解(1)由题设可得：解此方程组，得(2)原方程为由解的结构定理得方程的通解为