高阶线性微分方程(I)

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1、一.二阶线性齐次方程解的结构二.二阶线性非齐次方程解的结构三、小结及作业1第七节高阶线性微分方程一阶线性方程其通解为非齐次方程特解齐次方程通解推广高阶线性微分方程情形2二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程3定理得证.一.二阶线性齐次方程解的结构定理1若函数是二阶线性齐次方程的两个解,则也是该方程的解.叠加原理证:将代入方程左边,得说明:解中形式上含有两个任意常数时不一定是通解例如,是齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解.但是4定义:设是定义在区间I上的n个函数,若存在不全为0的常数使得当时有则称这n个

2、函数在区间I上线性相关,否则称为线性无关.例如,在(,)上都有故在任何区间I上都线性相关;又如,若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见故在任何区间I上都线性无关.5两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:若中有一个恒为0,则必线性相关6定理2若是二阶线性齐次方程(1)的两个线性无关特解,则是该方程的例如,方程有特解且常数则方程的通解为通解.7二.二阶线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,是相应齐次方程(2)的通解.定理3设则是非齐次方程的通解.

3、证:将代入方程左端,得故是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,从而也是通解.例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为8定理4设分别是方程的特解,则是方程的特解.设是对应齐次方程的n个线性无关的特解,定理5(推广)给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为910设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意常数,则该方程的通解是().例2.提示:都是对应齐次方程的解,且线性无关,因为假设它们线性相关,则有即从而推出线性相关,与已知条件矛盾.11三、小结主要内容线性方程解的结构；线性相关与线性无关；1213

4、练习题1415练习题答案16