高阶线性微分方程.pdf

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1、高阶线性微分方程2dydyP(x)Q(x)yf(x)二阶线性微分方程2dxdx当f(x)0时,二阶线性齐次微分方程当f(x)0时,二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程(n)(n1)yP(x)yP(x)yP(x)yf(x).1n1n特点未知函数及其各阶导数都是一次幂本节只讨论二阶线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形一、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:yP(x)yQ(x)y0(1)定理1如果函数y(x)与y(x)是方程(1)的两个12解,那末yCyCy也是(1)的解.(C

2、,C是常112212数)yCyCy一定是通解吗?问题:1122定义:设y,y,,y为定义在区间I内的n个12n函数.如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内有恒等式成立kykyky0,1122nn那么称这n个函数在区间I内线性相关.否则称线性无关例如当x(,)时,xx2xe,e,e线性无关221,cosx,sinx线性相关y(x)1特别地:若在I上有常数,y(x)2则函数y1(x)与y2(x)在I上线性无关.定理2:如果y(x)与y(x)是方程(1)的两个线性12无关的特解,那么yCyCy就是方程(1)的1122通解.例如yy0,y1c

3、osx,y2sinx,y且2tanx常数,yCcosxCsinx.12y12.二阶非齐次线性方程的解的结构:非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解*定理3设y是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)(2)的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通*解,那么yYy是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.定理4设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函数之和,如yP(x)yQ(x)yf(x)f(x)12**而y与y分别是方程,12yP(x)yQ(x)yf(x)1yP(x)yQ(x)yf(x)2**的特解,那么

4、y1y2就是原方程的特解.解的叠加原理***定理5若yyjy是12yP(x)yQ(x)yf(x)jf(x)12的特解则*y是yP(x)yQ(x)yf(x)的特解11*y是yP(x)yQ(x)yf(x)的特解22即特解的实部是实部方程的特解特解的虚部是虚部方程的特解二、降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法设y是方程(1)的一个非零特解,1令yu(x)y代入(1)式,得21yu(2yP(x)y)u(yP(x)yQ(x)y)u0,111111即yu(2yP(x)y)u0,令v

5、u,111则有y1v(2y1P(x)y1)v0,yv(2yP(x)y)v0v的一阶方程111降阶法1P(x)dx1P(x)dx解得ve,uedx22yy111P(x)dxyyedx,212y1Liouville公式齐次方程通解为1P(x)dxyCyCyedx.11212y12.非齐次线性方程通解求法------常数变易法设对应齐次方程通解为yCyCy(3)1122设非齐次方程通解为yc(x)yc(x)y1122yc(x)yc(x)yc(x)yc(x)y11221122设c(x)yc(x)y0(4

6、)1122yc(x)yc(x)yc(x)yc(x)y11221122将y,y,y代入方程(2),得c(x)yc(x)yc(x)(yP(x)yQ(x)y)11221111c(x)(yP(x)yQ(x)y)f(x)2222c(x)yc(x)yf(x)(5)1122c1(x)y1c2(x)y20(4),(5)联立方程组c1(x)y1c2(x)y2f(x)yy12系数行列式w(x)0,yy12yf(x)y1f(x)c(x)2,c(x),12w(x)w(x)yf(x)

7、2积分可得c1(x)C1dx,w(x)yf(x)1c(x)Cdx,22w(x)非齐次方程通解为yf(x)yf(x)21yCyCyydxydx.112212w(x)w(x)x1例求方程yyyx1的通解.1x1xx1解10,1x1xx对应齐方程一特解为y1e,由刘维尔公式x1dxx1xy2e2xedxx,e对应齐方通解为x.YCxCe12x设原方程的通解为yc(x)xc(

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