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1、第四章参数估计ParameterEstimation9/21/20211王玉顺：数理统计04_参数估计实际问题所研究总体X的分布参数(数字特征)常常是未知的，如果掌握了所研究总体X的概率分布或全部数据，那么只需简单计算就可得到所需的总体参数。而实际问题是，要么对总体X一无所知，要么只知总体X的分布类型，很难也没必要通过测取总体的全部数据获得所需的总体参数。因此，只需抽取总体的一个样本(sampleobservation)，利用样本提供的信息对总体参数做出推断。引言4参数估计总体参数有期望、方差、偏度、峰度、n阶原点矩、n阶中心矩等9/21/20212王玉顺：数理统计04_参数估计对总体X抽样
2、获得样本(sample)，由样本构造统计量(statistic)，以统计量为工具对期望、方差等总体参数的值或按给定概率所处的区间作出推断，称参数估计(estimation)。(1)什么是参数估计？4参数估计参数估计是统计推断的两个基本问题之一9/21/20213王玉顺：数理统计04_参数估计本章仅讨论分布类型已知的参数估计问题■点估计(pointestimation)：对所考察总体X的参数如均值、方差等的值所做的估计。■区间估计(intervalestimation)：对所考察总体X的参数如均值、方差等以给定概率所处的可能区间(数值范围)所做的估计。(1)什么是参数估计？4参数估计9/21/
3、20214王玉顺：数理统计04_参数估计(2)估计量和估计值估计量是用于参数估计的统计量设总体X的概率分布已知，并具有分布函数F(x;θ)，其中θ为未知参数，X1,X2,···,Xn是它的一个样本。以样本构造能对参数θ做近似估算的统计量(X1,X2,···,Xn)，将该统计量(X1,X2,···,Xn)称为θ的估计量，简称作估计(estimation)，记作4参数估计用于参数估计的统计量称作估计量9/21/20215王玉顺：数理统计04_参数估计■样本X1,X2,···,Xn的观察值记作(x1,x2,···,xn)或x1,x2,···,xn■估计量(X1,X2,···,Xn)的观察值记作■估
4、计量的观察值称作估计值。(2)估计量和估计值4参数估计估计值是由样本计算而得的估计量值9/21/20216王玉顺：数理统计04_参数估计■估计量(X1,X2,···,Xn)是样本的函数仍是随机变量；■估计量是用于参数估计的统计量，不含任何未知参数；■估计量有确定的概率分布。(3)估计量的性质4参数估计9/21/20217王玉顺：数理统计04_参数估计用估计量对参数做估计被视作随机试验，估计值就是一次试验的结果，做多次试验，估计值会在被估参数的真值附近摆动。(4)估计值与参数真值的关系4参数估计9/21/20218王玉顺：数理统计04_参数估计4.1矩估计4.2极大似然估计4.3估计量的评价4
5、.4区间估计本章内容4参数估计9/21/20219王玉顺：数理统计04_参数估计4.1矩估计EstimationbyMoments4参数估计9/21/202110王玉顺：数理统计04_参数估计利用样本矩构造估计量，进而对参数进行估计的方法称作矩估计。(1)什么是矩估计？4.1矩估计9/21/202111王玉顺：数理统计04_参数估计■依据：由大数定律知道，样本原点矩依概率1收敛于总体原点矩。即样本容量愈大样本原点矩与总体原点矩的偏差就愈小。■构造估计量的思路：(1)以样本原点矩作相应总体原点矩的估计；(2)估计量与样本矩之间的关系仿照待估参数与总体矩之间的关系；(3)解方程组得到估计量的表达
6、式，称作矩估计量。此法称作矩估计法。(2)矩估计的依据和思路4.1矩估计9/21/202112王玉顺：数理统计04_参数估计(3)求总体均值的矩估计4.1矩估计样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计得总体均值μ的矩估计记：求矩估计量9/21/202113王玉顺：数理统计04_参数估计4.1矩估计样本二阶原点矩作为总体二阶原点矩的估计记：(4)求总体方差的矩估计求矩估计量由方差计算公式可知待估参数与总体矩之间的关系：9/21/202114王玉顺：数理统计04_参数估计估计量与样本矩之间的关系仿照待估参数与总体矩之间的关系4.1矩估计解方程组得矩估计量(4)求总体方差的矩估计求矩估计量9/21/
7、202115王玉顺：数理统计04_参数估计4.1矩估计(4)求总体方差的矩估计求矩估计量9/21/202116王玉顺：数理统计04_参数估计抽样均值矩估计方差矩估计(5)均值和方差的矩估计值4.1矩估计x1521451361659/21/202117王玉顺：数理统计04_参数估计■矩估计适用于总体分布类型已知或未知时的分布参数估计；■要求总体存在一、二阶矩。哥西分布不存在一阶原点矩，不能使用矩估计；■因样本矩
