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1、数理统计与随机过程1兰州大学信息科学与工程学院主讲:路永刚E-mail:ylu@lzu.edu.cn第七节参数估计区间估计（IntervalEstimation）前面讨论了参数的点估计。点估计就是利用样本计算出的值(即实轴上点)来估计未知参数。§7.4区间估计其优点是：可直地告诉人们“未知参数大致是多少”；缺点是：并未反映出估计的误差范围(精度)。所以在点估计使用上还有不尽如人意之处。而区间估计正好弥补了这点不足。例如：在估计正态总体均值µ的问题中,若根据一组实际样本，得到µ的极大似然估计为10.12。一个好的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数µ的
2、可靠度(也称置信系数)。实际上，µ的真值可能大于10.12，也可能小于10.12。也就是说，给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数µ。这里的“可靠度”是用概率来度量的，称为置信系数，常用表示置信系数也叫置信水平。置信系数的大小常根据实际需要来确定，通常取0.95或0.99，即根据实际样本，由给定的置信系数，可求出一个尽可能短的区间，使为确定置信区间，我们先回顾前面给出的随机变量的上α分位点的概念。课本后面附有标准正态分布、2分布、t分布、及F分布的分位点表可供查用。区间估计的定义定义1：实际应用上，一般取α=0.05或0.01。§7.5正态总体参数的区
3、间估计根据定理(6.4.1)，知7.5.1单正态总体参数的区间估计也可简记为于是，µ的置信区间为(1)例1:某厂生产的零件长度X服从N(,0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下(单位:毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求:µ的置信系数为0.95的区间估计。解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2=0.22.所求置信区间为因方差未知，取●µ的区间估计于是，µ的置信系数为1-α的区间估计为也可简记为(2)●σ2的区间估计解:n=10,=0.05,t9(0.025)=2.2622,例2：为估
4、计一物体的重量μ，将其称量10次，得到重量的测量值(单位:千克)如下:10.l,10.0,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.设它们服从正态分布N(,2)。求的置信系数为0.95的置信区间。例3(续例2):求2的置信系数为0.95的置信区间。解：n=10,=0.05,S2=0.0583,查附表得，于是，讨论若称为的置信水平为的区间估计，此区间估计是否唯一？如果不唯一，如何选择哪个区间估计更好？7.5.2两个正态总体的情况在实际应用中，我们经常会遇到两个正态总体均值差和方差之比的区间估计问题。于是,评价新技术的效果问题，
5、就归结为研究两个正态总体均值之差1-2与方差之比12/22的问题。例如:考察一项新技术对提高产品某项质量指标的作用,将实施新技术前产品质量指标看成正态总体N(1,12)，实施新技术后产品质量指标看成正态总体N(2,22)。定理1：设X1,X2,···,Xm是抽自正态总体X的简单样本，X～N(1,12)，样本均值与样本方差分别为Y1,Y2,···,Yn是抽自正态总体Y的简单样本，Y～N(2,22)，样本均值与样本方差分别为I.两个正态总体均值差的区间估计当两样本相互独立时，证明:1).由基本定理(定理6.4.1)，知故，(4)式成立；且二者相互独
6、立。且(6)式与(7)式中的随机变量相互独立。由t分布的定义，有N(0,1)2m+n-2~tm+n-2利用该定理可得μ1-μ2的置信系数为1-的置信区间例4(比较棉花品种的优劣)：假设用甲、乙两种棉花纺出的棉纱强度分别为X～N(1,2.182)和Y～N(2,1.762)。试验者从这两种棉纱中分别抽取样本X1,X2,…,X200和Y1,Y2,…,Y100，样本均值分别为:求1-2的置信系数为0.95的区间估计。解:1=2.18,2=1.76,m=200,n=100,=0.05,由(8)式，得1-2的置信系数为1-的置信区间为例5：某公司利用两条自
7、动化流水线灌装矿泉水。设这两条流水线所装矿泉水的体积(单位:毫升)X～N(1,2)和Y～N(2,2)。现从生产线上分别抽取X1,X2,…,X12和Y1,Y2,…,Y17，样本均值与样本方差分别为:求1-2的置信系数为0.95的区间估计。解：m=12,n=17,=0.05，再由其他已知条件及(10)式，可算出查t分布表，得tm+n-2(α/2)=t27(0.025)=2.05.再由(9)式，得1-2的置信系数为1-的置信区间在这两个例子中，1-2的置信区间都包含了零，也就是说：1可能大于2，也可能小于2。这时我们认为二者没
