应用数理统计第7章参数估计

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1、第七章参数估计点估计点估计的评价标准充分性与完备性区间估计正态总体参数的区间估计7.1点估计一、参数估计的概念定义设X，…，X是总体X的一个样本，其概率函1n数为f(x;),。其中为未知参数,为参数空间,f(x;)可表示分布律或密度函数.若统计量g(X,…,X)1n可作为的一个估计，则称其为的一个估计量，记为ˆ,即ˆg(X,,X).1n若x，…，x是样本的一个观测值，则称1nˆg(x,,x)为的估计值.1n由于g(x，…，x)是实数域上的一个点，现用它1n来估计，故称这种估计为点估计。点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估计

2、法。二、矩估计法(简称“矩法”)定义用样本矩作为总体同阶矩的估计，从而解出未知参数的方法称为矩估计法或矩法。的矩估计可记为ˆM矩估计ˆ应满足方程：Mnk1kE(X)AkXi.ni1nk1k或E[XE(X)]Bk[XiX].ni1k的取值取决于f(x;)中未知参数的维数。若维数为1，即仅有一个参数，则可在第一个方程中让k取1；若维数为2，则可让k取1和2，解联立方程即可得ˆ与ˆ.余类推。12iid^例1.设X,,X~b(m,p),m固定,0p1,试求p.1nMmmxmx解E(X)xp(1p)mp,xx1^1

3、令E(X)X,即可解得pX.Mmxiide,x0^例2.设X1,,Xn~f(x;)0,试求M.0,x0x解E(X)xedx1/,0^令E(X)X,即可解得M1/X.iid^^22例3.设X,,X~N(,),,0,试求和.1nMM2(x)12222解E(X)xedx,D(X)E(X),2n12令E(X)X,D(X)(XiX)B2,即可解得ni1^^1n22MX,MB2(XiX).ni1iid^^例4.设X,,X~U(a

4、,b),ab,试求a和b.1nMM2b1ab2(ba)解E(X)xdx,D(X)E(X),aba212abE(X)X2解方程组2(ba)D(X)B212^^可得aMX3B,bMX3B.22三、极大似然估计法1、极大似然思想你从河海大学校本部去火车站赶火车，25分钟后列车就要开了，你是坐公共汽车去还是坐出租车去？答案是坐出租车去。这是因为坐出租车在25分钟内赶到火车站的把握大。一般说，事件A与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。若A发生了，则认为此时的值就是的估计值。这就是极大似然思想。例5设袋中装有许

5、多黑、白球，不同颜色球的数量比为3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率p。解易知p的值无非是1/4或3/4。现从袋中有放回地任取3只球，用X表示其中的黑球数，则X~b(3,p)，要估计p的值。对p的不同取值，X取k=0,1,2,3的概率可列表如下:X0123(p=1/4)27/6427/649/641/64P(p=3/4)1/649/6427/6427/64故根据极大似然思想即知1/4,k0,1pˆ3/4,k2,32、似然函数与极大似然估计iid设X,,X~f(x;),,x,,x为样本观测值,则称1n1nnL()L(x1,,xn;

6、)f(xi;)i1为该总体的似然函数。它实际上代表样本(X,,X)1N取其观测值(x1,,xn)时的概率。定义若有ˆ,使得或L(ˆ)maxL()SupL(),则称ˆ为的极大似然估计,记为ˆ.MLE3、极大似然估计的推求iid设X,,X~f(x;),,试求ˆˆ(X,,X)1nMLEMLE1n(1)解似然方程法d[L()]dLd[lnL()]dlnL0,or0dddd称为未知参数的似然方程。若该方程有解，则其解就是ˆˆ(X,,X)MLEMLE1n(2)直接法由似然方程解不出的似

7、然估计时，可由定义通过分析直接推求。事实上ˆ满足MLE或L(ˆ)maxL()SupL().MLEiid^例6设X,,X~P(),0,试求MLE1nnnxinxi解L()e[(x!)]1i1enix!i1ii1nnlnLln(xi!)xilnni1i1ndlnL1由xin0di1^n1可解得MLExix;ni1^其极大似然估计量是MLEX.iid^例7设X,,X~U(0,),试求MLE1nn1n解L(),0