数理统计-第2章-参数估计描述教学提纲.ppt

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1、数理统计-第2章-参数估计描述本章重点、难点：矩估计法、极大似然估计法；区间估计；点估计的评价标准参数估计问题假设检验问题点估计区间估计统计推断DE基本问题7-2第二章参数估计参数是刻画总体某方面的概率特性的数量.当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.例如，X~N(,2),点估计区间估计若,2未知，通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.点估计——估计未知参数的值区间估计——估计未知参数的取值范围，使得这个范围包含未知参数真值的概率为给定的值.（假定身高服从正态分布）设这5个数是:1.6

2、51.671.681.781.69估计为1.68，这是点估计.这是区间估计.估计在区间[1.57,1.84]内，假如我们要估计某队男生的平均身高.现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计.而全部信息就由这5个数组成.§2.1点估计常用方法0.点估计的思想方法设总体X的分布函数的形式已知，但它含有一个或多个未知参数：1,2,,k设X1,X2,…,Xn为总体的一个样本。构造k个统计量：随机变量7-5当测得一组样本值(x1,x2,…,xn)时，代入上述统计量，即可得到k个数：数值称数为未知参数的估计值问题如何构造统计量？如何

3、评价估计量的好坏？对应的统计量为未知参数的估计量7-6寻求估计量的方法1.矩估计法2.极大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯方法……这里我们主要介绍前面两种方法.1.矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩.理论依据:它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律用样本的k阶矩作为总体的k阶矩的估计量,建立含有待估计参数的方程，从而可解出待估计参数7-11设待估计的参数为设总体的r阶矩存在，记为设X1,X2,…,Xn为一样本，样本的r阶矩为令——含未知参数1,2,,k的方程组。7-12解方程组，得k个统计量：——未知参

4、数1,2,,k的矩估计量——未知参数1,2,,k的矩估计值代入一组样本值得k个数:例1：对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程（公里），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9对应总体为该型号汽车每5L汽油的行驶里程，其分布形式未知，计算例2设总体X~N(,2),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求,2的矩法估计量。解例3设总体X~E(),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求的矩法估计量。解令7-13故7

5、-9一般地，不论总体服从什么分布，总体期望与方差2存在，则它们的矩估计量分别为7-10事实上，按矩法原理，令例4设从某灯泡厂某天生产的一大批灯泡中随机地抽取了10只灯泡，测得其寿命为(单位：小时)：1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的标准差.解7-14例5设总体X~U(a,b),a,b未知，求a,b的矩法估计量.解由于令7-15解得7-16解:由矩法,样本矩总体矩从中解得的矩估计.即为数学期望是一阶原点矩例6设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,…

6、,Xn是取自X的样本,求参数α的矩估计.解:由密度函数知例7设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的矩估计.具有均值为的指数分布故E(X-)=D(X-)=即E(X)=D(X)=解得令用样本矩估计总体矩即E(X)=D(X)=矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.2.极大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,GaussFis

7、her然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.点估计的极大似然估计法思想方法：一次试验就出现的事件有较大的概率。例如:有两个外形相同的箱子,都装有100个球一箱99个白球，1个红球一箱1个白球，99个红球现从两箱中任取一箱，并从箱中任取一球，结果所取得的球是白球。答第一箱.7-17问所取的球来自哪一箱？例设总体X服从0-1分布，且P(X=1)=p,用极大似然法求p的估计值。解X的概率分布可以写成设X1,X2,…,Xn为总体X的样本,设x1,x2,…,xn为总体