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《应用数理统计第二章参数估计(3)区间估计.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、为了估计总体X的未知参数，前面已经介绍了矩估计法和极大似然估计法．由于总体X的未知参数的估计量是随机变量，无论这个估计量的性质多么好，它只能是未知参数的近似值，而不是的真值．并且样本不同，所得到的估计值也不同．那么的真值在什么范围内呢？是否能通过样本，寻求一个区间，并且给出此区间包含参数真值的可信程度．这就是总体未知参数的区间估计问题．§2·4区间估计1定义1设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参数,,对于给定值(0<<1),若由样本X1,X2,…,Xn确定的两个统计量和满足则称随机区间是的置信度为的置信区间,
2、和分别称为置信度为的双侧置信区间的置信下限与置信上限，称为置信水平(置信度)．2.4.1区间估计的一般步骤这种估计的方法叫做区间估计.评价一置信区间好坏的两个标准：1）精度：越小越好；2）置信度：越大越好.2１）当Ｘ是连续型随机变量时，对于给定的，我们总是按要求：求出置信区间．［注］２）当Ｘ是离散型随机变量时，对于给定的，常常找不到区间 使得 恰好为 ．此时我们去找 使得 尽可能地接近 ．3区间估计的一般步骤：1.给出“好”的点估计（按前面的标准），并知道它的分布（只依赖待估的未知参数）；2.求一个
3、区间（参数的一个邻域）或，使得对于给定的置信水平，且一般要求区间长尽可能小。将不等式变形得到等价的形式其中g(x)为可逆的已知函数，的分布已知且与θ无关。4对于给定的(0<<1),令设总体X~N(,2),X1,X2,…,Xn是总体X的样本，求,2的置信水平为(1)的置信区间.2.4.2单个正态总体的情况⑴均值的置信区间(a)2为已知时,因为求得的置信度水平为(1)的置信区间:(2为已知)/2/2或X是,的无偏估计,且5(b)2为未知时,因为S2是2的点估计量,所以用S替换,求得的置信水平为(1
4、)的置信区间:(2未知)/2/261)例如当=0.05时,即1-=0.95,查表得于是得到的置信水平为0.95的置信区间:即即(4.71,5.69)这时已不是随机区间,说明的真值含在(4.71,5.69)的可信程度为95%.2)若样本值为,则得到一个置信区间3)置信水平为(1)的置信区间不唯一.如上例=0.05,可证又若=1,n=16,置信区间长度越短表示估计的精度越高.÷÷øöççèæ+-96.099.0,znXznXss7例1有一大批月饼，现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下：50650849950350
5、4510497512514505493496506502509496，设袋装月饼的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信度为0.95的置信区间。解：2未知,1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,由公式(2)得均值的置信度为0.95的置信区间为即（500.4,507.1）这就是说估计袋装月饼重量的均值在500.4与507.1之间，这个估计的可信程度为95%。若以此区间内任一值作为的近似值，其误差不大于（克），这个误差估计的可信程度为95%。由已知的数据算得82的无偏估计量为S*2，(只介绍未知的情况)当1-给
6、定后,因为即得到方差2的一个置信度为1-的置信区间:(2)方差2的置信区间标准差的一个置信度为1-的置信区间/2/29例2有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量（以克计）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496,设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差的置信度为0.95的置信区间。解：现在查表得又S*=6.2022，(4.58,9.60)得所求的标准差的置信区间为由(4)式102.4.3两个正态总体参数的区间估计[例2.27]有A、B两种牌号的
7、灯泡各一批，A、B种灯泡的寿命是独立的且分别服从.希望通过抽样试验并进行区间估计，考察：(ⅰ)两种灯泡的寿命是否有明显差异；(ⅱ)两种灯泡的质量稳定性是否有明显差异.在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变,我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。111．两个总体均值差的置信区间(a)和已知,求的置信区间相互独立由此可得的一个置信水平为的置信区间为：设总体X~N(1,12),Y~N(2
8、,22),X1,X2,…,Xn1是X的样本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的样本.这两个样本相互独立，分别为第一、二个总体的样本均值与方差.12(b),但为未知.从而可得的一个置信度为的置信区间
