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《微积分（上） 课后习题答案解析试卷 微A2009（1）期末解答(A)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2009级《微积分A》第一学期期末试题参考答案（A卷）2010年1月29日一、填空（每小题4分，共28分）1f′()1f()1.2;2.dy=−xexdx;2x3.21+tanx+C,2;dy(y+x)2dy4.=e−,1=e−;1dxdxx=01−2x25.y=+Ce;26.切线：x−ey−e=,0法线：ex+y+1=0；12−27．−ln.22+2二、(10分)（1）当−1≤x<0时，有2xx1F(x)=∫−(t+)1dt=+x+.122当0≤x≤1时，有0xF(x)=∫(t+)1dt+∫arctantdt−10121=xarctanx−ln(1+x)+.222⎧x1⎪+x+x∈[
2、−)0,1∴F(x)=⎨22121⎪xarctanx−ln(1+x)+x∈]1,0[⎩22（2）只需讨论F(x)在x=0处的可导性和连续性，11连续性：F0(+)=F0(−)=F)0(=,∴F(x)在x=0处连续.21211x+x+−222可导性：F′)0(=lim=1−x→0−x1211xarctanx−ln(1+x)+−222F′)0(=lim=0+x→0+xF′)0(≠F′)0(，∴F(x)在x=0处不可导.−+22xtx∫dt0t+4x+4三、(9分)lim=limx→0x−sinxx→01−cosx=12∴lim(x+x+1−ax−b)=1x→+∞2x+x+1−ax−b⇒li
3、m=0x→+∞x2x+x+1⇒a=lim=1x→+∞x2x+11b=lim(x+x+1−x)−1=lim−1=−.x→+∞x→+∞x2+x+1+x2（注：若思路正确，可适当给分）11四、(9分)y′=,y′′=−2xx
4、y′′
5、x曲率：K==,(x>)023231[+y′]21(+x)221−2xK′=，x251(+x)222令K′=,0得唯一驻点x=,x222又当0;0当x>时，K′<;0xx222⇒x=是K的极大值点，又因为驻点唯一，22所以x=是K的最大值点.22211所以曲线y=lnx上曲率最大的点的坐标为(,ln)=(,−ln2).222223K=.最大9(注
6、：若导数求错，但解题思路正确，可适当给分；对求出的驻点不加判断，直接说是最大值点，扣2分)π五、(10分)（1）由对称性，s=42x′2+y′2dt∫tt0π=12∫2sintcostdt0=612（2）V=2∫πy(x)dx0π=6π2sin7tcos2tdt∫096π=.3152六、(10分)特征方程：r−3r+2=0特征根：r=,1r=2123x2x对应齐次方程通解为：Y(x)=Ce+Ce12*x设非齐次方程的特解为：y=Axe*x代入原方程，得A=−,2y=−2xex2xx非齐次方程的通解为：y(x)=Ce+Ce−2xe12由题意，有如下初始条件：y)0(=,1y′)0(=2(
7、x−)1=−1x=0代入通解得：C=,1C=,012xxx所以y(x)=e−2xe1(−2x)e.2aa2a七、（9分）证明：∫0f(x)dx=∫0f(x)dx+∫af(x)dx2a在∫f(x)dx中，做定积分换元，令x=2a−t,有a2a0∫f(x)dx=∫f2(a−t)(−dt)aaaa=∫f2(a−t)dt=∫f2(a−x)dx002aa2a∴∫0f(x)dx=∫0f(x)dx+∫af(x)dxa=∫[f(x)+f2(a−x)]dx.0ππxsinxxsinx(π−x)sin(π−x)∫dx=∫2[+]dx020221+cosx1+cosx1+cos(π−x)ππsinx=∫2d
8、x021+cosxππdcosx=−∫2021+cosx4π=−πln
9、cosx+1+cos2x
10、20=πln(1+2).八、(9分)设t时刻容器内溶液的含盐量为m(t).考虑时间间隔t,[t+dt]内，含盐量的改变量，得mdm=0−2dt，初始含盐量为：m)0(=100g.10+tC分离变量，解方程，得m(t)=，2(10+t)4由初始条件m)0(=100g.得C=10441010所以m(t)=，m(30)==.625g.22(10+t)(10+30)ln(2+f(x))九、(6分)由lim=,0⇒limln(2+f(x))=0x→1x−1x→1⇒lim1(+f(x))=,0⇒f)1
11、(=limf(x)=−.1x→1x→1f(x)−f)1(f(x)+1又f′)1(=lim=limx→1x−1x→1x−1ln(2+f(x))f(x)+1=lim=0x→1x−1ln(2+f(x))ln(2+f(x))f′(x)（或：lim=,0⇒lim=0，⇒f′)1(=0）x→1x−1x→12+f(x)1法1：又因为f)0(=∫f(x)dx，由积分中值定理知，存在η∈)1,0(，使得0f)0(=f(η)，f(x)在区间,0[η]上满足罗尔定理
