微积分（上） 课后习题答案解析试卷 4-3-1

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1、4.3不定积分本节作业要求：对积分结果不看书后答案（不定积分答案形式不唯一），一律求导验证结果，一举两得。4.3.1不定积分的定义概念与性质1.不定积分的概念定义函数f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.记为∫f(x)dx.∫f(被积函数x)dx被积表达式=F(x)+C任意常数积分号积分变量5例1求∫xdx.′66⎛x⎞55x解Q⎜⎟=x,∴∫xdx=+C.⎝6⎠61例2求∫dx.21+x′1解Q()arctanx=,21+x1∴dx=arctanx+C.∫21+x函数f(x)的原

2、函数的图形称为f(x)的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族.y=F(x)+C是积分曲线y=F(x)沿y轴方向上，下平行移动C得到的曲线族由不定积分的定义，可知d[]∫f(x)dx=f(x),d[∫f(x)dx]=f(x)dx,dx∫f′(x)dx=f(x)+C,∫df(x)=f(x)+C.结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的.2.基本积分公式)1(∫dx=x+Cμ+1μx)2(∫xdx=+C(μ≠−1);μ+1dx)3(∫=lnx+C;xxx)4(∫edx=e+C;xxa)5(∫adx=+C

3、;(a>,0a≠)1lna)6(∫cosxdx=sinx+C;)7(∫sinxdx=−cosx+C;dx2)8(∫2=∫secxdx=tanx+C;cosxdx2)9(∫2=∫cscxdx=−cotx+C;sinx(10)∫secxtanxdx=secx+C;(11)∫cscxcotxdx=−cscx+C;1(12)∫dx=arcsinx+C;21−x1(13)dx=arctanx+C;∫21+x(14)∫sinhxdx=coshx+C;(15)∫coshxdx=sinhx+C;2例3求积分∫xxdx.52

4、2解∫xxdx=∫xdxμ+1x根据积分公式（2）∫xμdx=+Cμ+15+127x2=+C=x2+C.57+123.不定积分的性质)1(∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx;（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）)2(∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.（k是常数，k≠)0即线性性质[Cf(x)+Cg(x)]dx=Cf(x)dx+Cg(x)dx∫121∫2∫32例4求积分∫(−)dx.221+x1−x32解(−)dx∫221+x1−x11=3∫∫dx−2dx221+x1−x=3a

5、rctanx−2arcsinx+C21+x+x例6求积分∫dx.2x1(+x)221+x+xx+1(+x)解∫2dx=∫2dxx1(+x)x1(+x)⎛11⎞11=∫⎜2+⎟dx=∫∫2dx+dx⎝1+xx⎠1+xx=arctanx+lnx+C.21+2x例7求积分∫dx.22x1(+x)2221+2x1+x+x解∫22dx=∫22dxx1(+x)x1(+x)11=∫2dx+∫2dxx1+x1=−+arctanx+C.x1例8求积分∫dx.1+cos2x1解∫dx1+cos2x111=∫2dx=tanx+C

6、.2cosx2说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.