2007级《微积分A》（上）期中测试题

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1、课程编号：A071001北京理工大学2007-2008学年第一学期2007级《微积分A》期中试卷班级学号姓名成绩一、填空（每小题3分，共30分）3531．设a0.当x0时，axa是x的n阶无穷小，其中n.2xy22．设函数yy(x)由方程exycosx确定，则y(0).13．曲线yxln(e)(x0)的斜渐近线为x2x2xbx04．设f(x)在x0点处连续且可导，则a，b.arctan(ax)x0225．若(x)存在，y(secx)arcsinx，则dy.226．若曲线yxaxb与2y1xy在

2、点(1,1)处相切，则a，b.arctanx7．已知f(x)在x0处可导，且lim3,则f(0),f(0).f(x)x0e1n28．数列极限limtan().n4nx9．已知方程e2xa0有实根，则a应满足的条件是:.2(10)10．设yxcos(2x),则y(0).xarctantdyd2y二、（10分）设，求,，并求曲线yy(x)在参数t0对应点42yln(1t)dxdx处的曲率.第1页（本试卷共4页，正反两面印刷）三、（10分）设f(x)ln(1x)，由拉格朗日中值定理,得：x1,(0,

3、1)，x使得ln(1x)ln(1x)ln(10)f(x)x.求极限lim的值.1xx022四、（10分）证明不等式：当x0时，1xln(x1x)1x.第2页（本试卷共4页，正反两面印刷）32五、（10分）设函数f(x)xaxbx在x1处有极值2.（1）试确定系数a,b；（2）求出yf(x)的所有极值及单调区间；（3）求曲线yf(x)的凹凸区间和拐点.2arctanx,x0六、（10分）设函数f(x)x，试求f(x)的表达式，并讨论f(x)0,x0在x0处的连续性，若x0是间断点，请指出间断

4、点的类型.第3页（本试卷共4页，正反两面印刷）3七、（10分）某轮船航行一昼夜的耗费（单位：元）为yakv，其中a,k是正的常数，v是船航行的速度（单位：km/小时）.利用你学过的微积分知识，求v取何值时可使得船航行一公里时的平均耗费最小.八、（10分）设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)f(1).求证：存在(0,1),使得2f()(1)f().第4页（本试卷共4页，正反两面印刷）