2009《微积分A》（上）期中测试题解答

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1、2009级《微积分A》第一学期期中试题参考答案及评分标准考试日期：2009年11月28日下午2:00---4:00f(arctanx)tanx2tanx一、1dy[x(secxlnx)]dx;x(1x)x12;33ln(xy)3y,y(0)2;2ln(xy)4a2,b2;52；6a6,b9;(n)n!7y(n2).n1(1x)11dy1t2t1二、解：……………….5分dx1t21t13t22dy23t21t.………………9分dx2121ttanx三、解：设f(x)

2、，则x2xsecxtanxxcosxsinxf(x)……………….3分222xxcosx当x(0,)时，有0cosx1,sinxx,2所以xcosxsinxxsinx0，有f(x)0(x(0,),f(x)在(0,)内单增，…………6分221对任意0xx,有f(x)f(x)12122tanxtanxtanxx1222即,.……………….9分xxtanxx1211（注意：讨论f(x)的符号时还有其他方法！）11四、（1）当x0时，f(x)2xsincos,……………….2分xxf(

3、x)f(0)1f(0)limlimxsin0………………4分x0xx0x112xsincosx0f(x)xx……………...5分0x011（2）又limf(x)lim(2xsincos)极限不存在，x0x0xx所以f(x)在x0处不连续，……………….7分x0是f(x)的第二类间断点。……………….9分五、定义域D:x0,函数无对称性。22x1（1）f(x)，……………….1分2x22令f(x)0,得驻点x,x.……………2分1222列表讨论增减区间，极值x0222222

4、(,)(,0)(0,)(,)2222220----0f(x)极大值极小值f(x)222单增区间为：(,)(,)22；22单减区间：(,0)(0,)2222……4分极大值：f()122，极小值：f()122222（2）f(x)3x在定义域内没有二阶导数为0和二阶导数不存在的点，列表x(,0)0(0,)f(x)--+f(x)…………….7分(,0)(0,)凸区间为：；凹区间为：；曲线无拐点。（3）渐近线limf(x),limf(x),x0x0x

5、0所以垂直渐近线为：；无水平渐近线，2f(x)12x1limlim[]2k;2xxxxx212xlim[f(x)kx]lim[12x]1xxx……………….9分y2x1所以有斜见渐近线：。六、证明：单调性：xx,x333x，假设nn1有21x3x3xx，由数学归纳法知：{xn}单增。n1nn1n3……………….3分有界性：x1331,x233323131，x31假设n，则xn13xn331323131{x}有归纳法可知数列n有界

6、，由单调有界准则知：……………….6分limxn存在。n设limxna，在等式xn13xn两边取极限，得a113n2113……………….9分limx.nn21122七、解：1x1xxo(x)(x0)2811……………….2分22441x1xxo(x)(x0)28122cosx1xo(x)(x0)21……………….4分244cosx1xo(x)(x0)222123441xcosxxxox(x0)28221xcosx1lim02x0x222…

7、…………….7分x0,无穷小1xcosx的阶为2，1……………….9分2其最简形式的等价无穷小为：x.2八、解：设P点坐标为(x0,y0),则过点P的切线方程为：44x……………….2分0yy(xx)00y041令x0,得y,令y0,得xyx00…….4分2则点P处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为：S，xy002简化目标函数，则问题转化为求函数：Ax0y02x01x0(x0(0,1))最大值。……………6分12x220，令A0,得唯一驻点x，Axx000221x02A02A0当x时

8、，x0；当x时，x0。222所以A在x处取得极大值，有驻点唯一，022所以A在x处取得最大值。0222S2………9分S在x处取得最小值。此时P(,2)，最