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《2008级微积分（A）第一学期期中测试题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课程编号：A071000150北京理工大学2008-2009学年第一学期2008级《微积分A》期中试卷参考答案及评分标准一、填空（每小题3分，共30分）xsinx−e+11．极限lim=−1.x→021−1−x2112f2．设y=arcsinx+f(arctan)，f可微，则dy=(−f′)dx.22x2x−x1+x⎧2⎪x≤13．设函数f(x)=⎨1+x2在点x=1处可导，则a=−1,b=2.⎪⎩ax+bx>14．设函数f(x)在[a,b]上二阶可导，且f′′(x)>0，则f(b)−f(a),(b−a)f′(a),(b−a)f′(b)按由大到小的排列次序是：
2、(b−a)f′(b)>f(b)−f(a)>(b−a)f′(a).2⎧x=1+t5．曲线⎨在t=2处的法线方程为：x+3y−29=0.3⎩y=tnnn256．数列极限lim2(5−)6=.n→∞62007．设f(x)=(x−)1g(x)，其中g(x)在x=1处连续，且g)1(=,5则f′)1(=1000.2218．x→0时，1−2x=1+ax+bx+o(x)，则a=−1，b=−.22x35−xx59．函数f(x)=xe2的带皮亚诺余项的五阶麦克劳林公式为：x−++o(x).28n1(n)(−)1n!1110．设y=,则y=[−].2n+1n+1x+5x−67(x
3、−)1(x+)62xy3dydy二、（10分）设y=y(x)由方程e+y−5x=0所确定，求,.2dxdxx=0xy2解：e(y+yx′)+3yy′−5=,0（1）xy5−yey′=xy2xe+3y（1）两端再求导。得第1页xy2xy22e(y+yx′)+e2(y′+yx′′)+6yy′+3yy′′=,0由原方程得x=0，y=−,1y′=2，代入上式得19y′′=.3(2x−)1三、（10分）证明不等式：当x>1时，lnx>.x+1证明：设f(x)=(x+)1lnx−(2x−)1，有f)1(=.01f′(x)=lnx+−,1又有f′)1(=0xx−1f′′(x
4、)=,2x当x>1时，有f′′(x)>,0所以f′(x)单增，所以有f′(x)>f′)1(=0(x>)1，所以f(x)单增，所以有f(x)>f)1(=0(x>)1即f(x)=(x+)1lnx−(2x−)1>0(2x−)1又当x>1时，(x+)1>,0所以lnx>.x+12x−1四、（10分）利用导数研究函数f(x)=的性态，并画出其图形.2(x−)1解：（1）函数的定义域为：D(:−∞)1,∪,1(+∞)−2x4x+2（2）f′(x)=,f′′(x)=34(x−)1(x−)11令f′(x)=0，得驻点x=;0令f′′(x)=0，得特殊点x=−.2（3）又lim
5、f(x)=∞,所以x=1为其铅直渐近线；x→1又limf(x)=,0所以y=0为其水平渐近线；曲线无斜渐近线。x→∞第2页（4）列表x(−∞,−12)−1(−1)0,0)1,0(221,1(+∞)f′(x)−−0+−f′′(x)−0+++极小值f(x)(−1,−8)不存在29f)0(=−11⎧−2exx<0⎪⎪五、（10分）设函数f(x)=⎨0x=0，⎪31xsinx>0⎪x⎩（1）求f′(x;)（2）讨论f′(x)的连续性.′1−122−2解：（1）当x<0时，f′(x)=(ex)=ex,3x′⎛31⎞211当x>0时，f′(x)=⎜xsin⎟=3xsin−
6、xcos,⎝x⎠xxf(x)−f)0(21显然，f(x)在x=0处连续，f′)0(=lim=limxsin=,0+++x→0xx→0x−12f(x)−f)0(ex1txf′)0(=lim=lim=lim=lim=,0−−−−1tt2x→0xx→0xx→0ex2→−∞e所以f′)0(=,0第3页1⎧2−2exx<0⎪3⎪xf′(x)=⎨0x=0⎪2113xsin−xcosx>0⎪xx⎩2−12t36t22（2）limf′(x)=limex=lim=lim=0=f′)0(−−3t→−∞t2t→−∞t2x→0x→0xe2te211limf′(x)=lim3(xsin
7、−xcos)=0=f′)0(+−x→0x→0xx所以f′(x)在x=0处连续.六、（10分）设曲线y=f(x)与y=g(x)在(x,y)处相切，且在这一点曲线y=f(x)的00曲率k比y=g(x)的曲率k大，f′′(x)>,0g′′(x)>0.问在(x,y)附近，y=f(x)120000是在y=g(x)的上方还是下方？并说明理由.解：由题意可知，f′(x)=g′(x),00f′′(x)g′′(x)00k=>=k1332[]+′22[]+′221f(x)1g(x)00又f′′(x)>,0g′′(x)>,0得f′′(x)>g′′(x),0000令F(x)=f(x)
8、−g(x),有F(x0)=,0F′(x
