2010微A第一学期期中测试题解答

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1、2010级《微积分A》第一学期期中试题参考答案一、1.6;2.6;tanx2tanx113y′=x(secxlnx+)−cot;2xxxx+ye−ycosxy1(−cotx)4dy=dx;或dy=dx;x+ysinx−e1−y3x3143555=x−x+x+o(x)1+x28n1106161．解：利用等价无穷小1+x−1~x得：1+3x−1~3(x)，n10106故当x→0时，无穷小1+3x−1的阶为6f(xtanx)f0(+xtanx)−f)0(xtanx2．解：lim=lim⋅x→01−cosxx→0xtanx1−cosxf0(+xtanx)−f)0(xtanx=lim⋅limx→0xt

2、anxx→01−cosx由导数定义及x⋅xf′)0(⋅lim=3×2=62无穷小替换x→0x2tanxlnx13．解：y=e+lnsinx1costanxlnx⎡2tanx⎤x⎛1⎞y′=esecxlnx++⎜−⎟⎢⎥12⎣x⎦⎝x⎠sinxtanx⎡2tanx⎤11=xsecxlnx+−cot⎢⎥2⎣x⎦xxx+y4．解：方程两端对x求导得：e1(+y′)−y′sinx−ycosx=0x+yx+ye−ycosxe−ycosx整理得：y′=，故dy=dxx+yx+ysinx−esinx−ex+y或方程两端求微分得：e(dx+dy)−sinxdy−ycosxdx=0第1页/共8页1x+ye−y

3、cosx整理得：dy=dxx+ysinx−ex+yx+yy1(−cotx)由e−ysinx=0得e=ysinx可将上式化为dy=dx;1−yαα(α−)1225．解：由二阶麦克劳林公式1(+x)=1+αx+x+o(x)得!211322=1−x+x+o(x)1+x283x314355故=x−x+x+o(x)1+x28二、证明：有界性：x>a>,0x=ax>a⋅a=a121，假设xn>a，则xn+1=axn>a{x}由归纳法可知数列n有下界；xn+1axna单调性：==<1，所以{xn}单减；xnxnxnlimx由单调有界准则知：n存在。n→∞设limxn=A，在等式xn+1=axn两边取极限，

4、得A=an→∞∴limxn=a.n→∞2三、解：设f(x)=x−2xlnx−1，则f′(x)=2x−2lnx−22f′′(x)=2−>,0(x>)1xf′(x)单增，又f′)1(=,0∴f′(x)>f′)1(=0(x>)1f(x)单增，又f)1(=,0∴f(x)>f)1(=0(x>)1第2页/共8页22即x>2xlnx+1(x>)1dy1−cost四、解：==csct−cottdxsint22dy−cottcsct+csct2==csct(csct−cott).2dxsint(n)n(n)nπ⎛1⎞(−)1n!五、解：因为(sinx)=sin(x+)，⎜⎟=n+12⎝a+x⎠(a+x)由莱布

5、尼兹公式得：(10)2(10)1(10)y=(xsinx)+()x+229π10!=xsin(x+5π)+20xsin(x+)+90sin(x+4π)+112(x+)2210!=(90−x)sinx+20xcosx+11(x+)2a六、解：y′=+2bx+,1xx1=,1x2=2为极值点，有ay′)1(=a+2b+1=,0y′)2(=+4b+1=0221得a=−,b=−362x−3x+2y′=−，3x当0;0x>2时，y′<02111（或y′′=−，y′′)1(=>;0y′′)2(=−<.0）23x336第3页/共8页354−2ln2所以极小值：y

6、)1(=;极大值：y)2(=.63f(x)七、（1）当x≠0时，g(x)=连续，又xf(x)f(x)−f)0(limg(x)=lim=lim=f′)0(=0，x→0x→0xx→0xg)0(=a,所以要g(x)处处连续，只需a=.0fx′(x)−f(x)（2）当x≠0时，g′(x)=,2xg(x)−g)0(f(x)g′)0(=lim=lim2x→0xx→0xf′(x)−f′)0(f′′)0(=lim==1x→02x2⎧fx′(x)−f(x)⎪x≠0∴g′(x)=⎨x2⎪⎩1x=0由已知条件及连续函数的运算性质知，当x≠0时，g′(x)连续；在x=0处，有fx′(x)−f(x)limg′(x)=

7、lim2x→0x→0xf′(x)f(x)f′(x)−f′)0(=lim(−)=lim−1=f′′)0(−1=12x→0xxx→0x=g′)0(所以g′(x)在x=0处连续；综上可知：g′(x)处处连续，即g(x)有一阶连续导数八、定义域D=ℜ。21−2x+1y′=x3−x3,y′′=,343x第4页/共8页41令y′′=,0得可疑拐点横坐标为x=−;x=0时，y′′不存在.21当x<−时，y′′<,0曲线为上