微积分(上)期中试卷与参考答案

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1、微积分（上）期中测验专业班级学号姓名得分一、填空：（每格3分，共33分）1.因为，取　　　，使得对于一切满足的，都有成立，故。2.设时，与为同阶无穷小，则　　　　　。3.在区间______________上是上凹的。4.设在内连续可导，则5.在内的零点个数为________。6.的斜渐近线为　　　　　。7.若,则。8.若，则　　，和　　。9.设,则______________。二、计算与证明：（共78分）1.（8分）2．（8分）3．设,求及（8分）4．设,求以及在处的曲率半径（8分）5.求由方程所确定的函数的以及在处的切线与法线方程（8分

2、）。6.求的取值范围，使得方程：有实根（8分）7.证明：当时，有（8分）8.设，且（），试证存在，并求此极限（8分）9.描绘函数的图形（请写出具体分析步骤）（14分）参考答案：一、填空：1．；2.；3.；4.，；5.1个；6．；7.；8.，；9.。二、计算与证明：1．解：2．解：，而故。3．解：以及。故有，和。4．解：因为，，所以有，而。而且在处的曲率为，故曲率半径为。5.解：因为，所以；而且，故所求切线方程为，即，法线方程为，即。6.解：令，则，。令得到：，而，所以为的极小也是最小值点，而且只有当，即时上述方程有实根。7.证明：设，则，

3、即，而且，故当时，有，即。8.证明：由条件，假设，则由数学归纳法，对一切正整数，有，即数列有下界。又，有，即数列单调减少。由单调有界准则知，存在，设其为。两边令，有，解得，或。又由和极限弱保序性知：，故有。9．解：，其定义域则令有解：。又有解。再列表分析如下：－－－0+－－0++++单减下凹（上凸）拐点单减下凸（上凹）极小值单增上凹单减上凹显然还有水平渐近线：，和垂直渐近线：（）。而且，，可补充另外的点，，再作图如下。