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《2014高等微积分秋季期中试卷_参考答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、汕头大学2014-2015年秋季学期高等微积分期中试卷开课单位理学院任课老师林小苹、谭超强、李健评卷人林小苹、谭超强、李健等学生姓名学号所在开课班号所在学院题号12345678910总分满分10101010101010101010100得分1、(10分)设是从LAB(1,0)到(1,2)−+的线段，求曲线积分（∫xy)ds.L解:Lxy:1+=,………4分∫∫（x+=yds)ds………4分LL=22………2分线订2222、(10分)设L是圆周x+y=a(a>0)，方向为逆时针，求曲线积分装解：∂∂2332=−[(xyy)(−xx−y)]dxdy∫
2、∫222∂∂xyD:x+y≤a4分D22=+∫∫()xydxdy2分D2=⋅∫∫ρρρθdd3分D4πa=1分2-1-3、(10分)已知力场，质点从原点出发沿着X轴运动到点(1，0)，然后再沿直线段到(0，1)，再沿着Y轴回到原点，求力所做的功。2解：Wx=++î∫()xydxxydy………4分L2=+∫xx()ydx+xydy………2分LLL123++1221∫∫xxydxxydy()++==xdx………1分3Ly1:0=000225∫∫xx()++=−−=ydxxydyxdx∫x(1)xdx−………1分12Lxy2:1+=112∫xxydxx
3、ydy()++=0………1分Lx3:0=1W=−………1分124.(10分)证明曲线积分(1,2)2322∫(6xy−+−ydx)(6xy3xydy)在整个xoy面内与路径无关,并计算(0,0)积分值.∂∂Q222∂∂P23解：=−(6xy3xy)12=xyy−3==−(6xyy)………4分∂∂xx∂∂yy所以此积分与路径无关.………1分(1,2)223222∫∫(6xyy−+−)dx(6xy3xy)dyy=0+−(63y)dy………4分(0,0)0=4………1分-2-2222225.(10分)计算∫∫(2x++yz)dS,其中∑是球面xyz++
4、=1。Σ222解：∑关于xoy面对称，被积函数x++y2z关于z是偶函数，由对称性，2222∴∫∫(2x++yzdS)=2∫∫(1+zdS)ΣΣ上22xyΣ:1zx=−−y,z=−,z=−，2分上xy222211−−xy−−xy22122∴原式=−2(2x−y)dxdy，Dxy:1+≤4分∫∫22xyD1−−xyxy21=−2(∫∫2ρ)ρρθdd，3分2D1−ρxy16=π1分36.(10分)计算∫∫(3x−2)zdxdy,其中∑：在第一卦限中部分的上侧。Σxy解：∑：z=−−3(1),2分12xy(3x−=2)zdxdy(69−+x+3)yd
5、xdy，D:1+≤5分∫∫∫∫xy12ΣDxy=…….2分=51分-3-7.(10分)计算其中∑是由
6、x
7、≤1,
8、y
9、≤1,
10、z
11、≤1所确定的立体Ω的表面的外侧。解:由高斯公式得:原式=+∫∫∫(111)−dv………6分Ω=2∫∫∫dv………3分Ω=16………1分ddd28.(10分)设）A=−+(,xyzxz,，求div()及Arot()Ad∂A∂A∂Axyz解:divA=++………2分∂x∂y∂z=++211x=+2(x1)………3分hhdhhdijkijkd∂∂∂∂∂∂rotA==………2分∂x∂y∂z∂∂∂xyzAAA2xyzxy−zxz
12、+dd=−−ij………3分-4-dd229.(10分)设有空间流速场vz=(0,0,)，求v通过曲面z=x+y位于平面z=1以下部分的∑下侧的通量(流量)。解：Φ=∫∫zdxdyΣ22=−∫∫()x+ydxdyDxy2=−∫∫ρρρθddDρθπ=−2d10、(10分)求向量A=(,,xyzxyz）沿曲线L：的环流量，L的方向取对着z轴的正向看去的逆时针方向。解：Γ=î∫xydx+zxdyy+zdz………2分L设L围成的平面块为∑，∑的方向与L符合右手法则，则由Stoeks公式得：1分Γ=î∫xydx+zxdyy+zdzLdydzdzdxdxdy
13、2分∂∂∂=∫∫∂∂∂xyzΣxyzxyz=−∫∫()zxdydz−0+−()zxdxdy2分ΣR=+0()∫∫−xdxdy2分2DxyR3323=⋅Rπ−=0Rπ1分248-5-
