2007级《微积分A》（上）期中测试题答案解析

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1、2007级《微积分A》期中试卷参考答案一、填空11．5.2．1.3．y=x+.4．a=2，b=0.e2x5．(2ϕ′secxtanx+)dx.6．a=-4，b=2.41−x1497．f)0(=0,f′)0(=.8．e.9．a≥2−2ln2.10．45×2.3332′4tdyyt1+t44t1(+t)二、解：===,dxx′11+t4t1+t2222462dy4t3(+5t−t+t)(1+t)=242dx1(+t)2dydyt=0时，=,0=0，2dxdx

2、y′′

3、曲率为：k=

4、=.023t=01(+y′)2x−ln(

5、1+x)三、解：由已知得：θ=,xln(1+x)x−ln(1+x)x−ln(1+x)limθ=lim=lim2θ→0θ→0xln(1+x)θ→0x11−1+xx1=lim=lim=.θ→02xθ→02x1(+x)222四、证明：设f(x)=1+xln(x+1+x)−1+x，则f)0(=.02f′(x)=ln(x+1+x)>,0所以当x>0时，f(x)单增，从而f(x)>.0即221+xln(x+1+x)>1+x.第1页2五、解：（1）由已知条件知：f′)1(=3(x+2ax+b)x=1=3+2a+b=,0f)1(=1

6、+a+b=−,2解得：a=,0b=−.32（2）f′(x)=3x−3=(3x−1)(x+)1，令f′(x)=,0得驻点x=−,1x=.1x<−1时，有f′(x)>,0−11时，f′(x)>.0知x=−1为极大值点，x=1为极小值点；极大值为f(−)1=,2极小值为f)1(=−.2（3）f′′(x)=6x，令f′′(x)=,0得x=0，x<0时，f′′(x)<0，曲线为凸弧；x>0时，f′′(x)>0，曲线为凹弧.拐点为（0，0）.2xarctanx2−arctanx21+x六、解：当

7、x≠0时，f′(x)=2x2arctanx2[x−1(+x)arctanx]=.22x1(+x)2f(x)−f)0(arctanx当x=0时，f′)0(=lim=lim=12x→0xx→0x2⎧arctanx2[x−1(+x)arctanx]⎪x≠0所以f′(x)=⎨x21(+x2).⎪⎩1x=022arctanx2[x−1(+x)arctanx]2x−1(+x)arctanxlimf′(x)=lim=lim=122x→0x→0x1(+x)x→0x=f′)0(所以f′(x)在x=0处连续。第2页3ya+kv七、解：船

8、航行一公里时的平均耗费函数为：w==,v>0，24v24v32kv−aaw′=，令w′=,0得唯一驻点v=3，2024v2k又vv0时，w′>,0所以w在v0处取得极小值，又因为驻点唯一，所以w在v0处取得最小值。aa2k故v=3时可使得船航行一公里时的平均耗费最小。最小值3.2k16a2八、证明：做辅助函数；F(x)=1(−x)f′(x)，由已知条件知，f(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知：至少存在一点τ∈1,0(),使得f′(τ)=.0易验证F(x)在[τ]1,上满足罗尔

9、定理的条件，所以至少存在一点ξ∈(τ)1,⊂1,0(),使得F′(ξ)=,0即2−1(2−ξ)f′(ξ)+1(−ξ)f′′(ξ)=0，即2f′(ξ)=1(−ξ)f′′(ξ).结论成立。第3页