微积分（上） 课后习题答案解析试卷 4-2-微积分基本定理

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1、《微积分A》习题解答习题4.2(P217)1．求下列导数.d1sint(1)∫dtdxxtd1sintdxsintsinx解：∫dt=−∫dt=−dxxtdx1txdx22(2)∫1+tdtdx0dx222224解：∫1+tdt=1+(x)⋅(x)′=2x1+xdx0d2t2(3)∫edtdxsinxd2t2sin2xsin2x解：∫edt=−e(sinx)′=−ecosxdxsinxdexlnt(4)∫dtdxx2tdxlntlnexlnx24lnxex2解：∫dt=(e)′−(x)′=x−dx2tx2xx

2、exytxdy2.设∫edt+3∫costdt=0，求.00dxydydy3cosx解：两端同时对x求导，得e⋅+3cosx=0，所以=−dxdxye⎧t⎪x=∫ulnududy3．设1，求.⎨12⎪y=∫ulnududx⎩t2dy2dxdy−tlnt解：=−tlnt，=tlnt，所以==−tdtdtdxtlnt4．求下列极限.第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理1/4《微积分A》习题解答x2∫costdt0(1)limx→0xx2∫costdtcosx20解：lim=lim=1x→0xx→011−t2∫

3、edtcosx(2)limx→0x212−t2∫edt−e−cosx(−sinx)e−11cosx解：lim=lim==x→0x2x→02x22esinx∫tantdt0(3)limx→0tanx∫sintdt0sinx∫tantdttan(sinx)⋅cosxtan(sinx)0解：lim=lim=limx→0tanxx→0sin(tanx)sec2xx→0sin(tanx)∫sintdt0xtan(sinx)无穷小tanxtan(sinx)=limlim⋅x→0xsin(tanx)代换x→0sin(tan

4、x)sinxtanxtan(sinx)ttant=lim⋅lim=lim⋅limx→0sin(tanx)x→0sinxt→0sintt→0ttanttant无穷小t=lim=limlim=1t→0sintx→0sint代换x→0t2x2x2t2⎛t⎞∫edt⎜∫edt⎟0⎝0⎠(4)lim或lim（书中习题有错误）x→x2x→0x202t2t∫tedt∫tedt002x2t4∫edt2xex0解：lim=lim=2x2x→02t2x→02x∫tedtxe0x2xx2222⎛t⎞⎛t⎞x⎛t⎞⎜∫edt⎟2⎜∫

5、edt⎟e2⎜∫edt⎟x2⎝0⎠⎝0⎠⎝0⎠2e或lim=lim=lim=lim=2x22x→0te2tdtx→0xe2xx→0xx→01∫0=x2−2′5．设F(x)∫(tx)f(t)dt，求F′(x)0第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理2/4《微积分A》习题解答=x2′−2x′解：F(x)∫0tf(t)dtx∫0f(t)dt，′=2′−x′−2′则F(x)xf(x)2x∫f(t)dtxf(x)0xx=−2x∫f′(t)dt=−2x[f(x)]=−2x[f(x)−f0()]00x−t26.求F(x)

6、=∫tedt的极值.02−x解：令F′(x)=xe=0，得驻点x=0，且当x∈(−δ)0,时，F′(x)<0，当x∈,0(δ)时，F′(x)>0，故x=0为极小值点，极小值为F)0(=0x∫tf(t)dt07．设f(x)为连续正值函数，证明：当x>0时，F(x)=为单调增加函数.x∫f(t)dt0xxxxf(x)∫f(t)dt−f(x)∫tf(t)dtf(x)∫(x−t)f(t)dt′=00=0解：F(x)，x2x2⎛⎞⎛⎞⎜∫f(t)dt⎟⎜∫f(t)dt⎟⎝0⎠⎝0⎠x由假设，当00

7、，(x−t)f(t)>0，所以∫(x−t)f(t)dt>0，所以0F′(x)>(0x>)0，从而当x>0时，F(x)为单调增加函数8．计算下列定积分.33(1)∫xdx13331414解：∫xdx=x=3(−)1=2014419(2)∫x1(+x)dx491399222122711解：∫x1(+x)dx=∫(x+x)dx=(x+x)==454432664π4(3)∫secxtanxdxπ−4第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理3/4《微积分A》习题解答π4解：被积函数是奇函数，且积分区间关于原点对称，所以

8、∫πsecxtanxdx=0−432dx(4)∫1221−x332dx2π解：∫1=arcsinx1=1−x26222(5)∫1−xdx011211111222解：∫01−xdx=∫01(−x)dx+∫1(x−)1dx=(x−x)+(x−x)=+=12222003x(6)∫(x+)1edx2333xxxx32解：∫(x+)1edx=+∫(e+xe)dx=xe=3e−2e222⎧x2x∈)1,0[x9