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时间:2019-07-09
《微积分(上) 课后习题答案解析试卷 4-2-微积分基本定理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《微积分A》习题解答习题4.2(P217)1.求下列导数.d1sint(1)∫dtdxxtd1sintdxsintsinx解:∫dt=−∫dt=−dxxtdx1txdx22(2)∫1+tdtdx0dx222224解:∫1+tdt=1+(x)⋅(x)′=2x1+xdx0d2t2(3)∫edtdxsinxd2t2sin2xsin2x解:∫edt=−e(sinx)′=−ecosxdxsinxdexlnt(4)∫dtdxx2tdxlntlnexlnx24lnxex2解:∫dt=(e)′−(x)′=x−dx2tx2xx
2、exytxdy2.设∫edt+3∫costdt=0,求.00dxydydy3cosx解:两端同时对x求导,得e⋅+3cosx=0,所以=−dxdxye⎧t⎪x=∫ulnududy3.设1,求.⎨12⎪y=∫ulnududx⎩t2dy2dxdy−tlnt解:=−tlnt,=tlnt,所以==−tdtdtdxtlnt4.求下列极限.第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理1/4《微积分A》习题解答x2∫costdt0(1)limx→0xx2∫costdtcosx20解:lim=lim=1x→0xx→011−t2∫
3、edtcosx(2)limx→0x212−t2∫edt−e−cosx(−sinx)e−11cosx解:lim=lim==x→0x2x→02x22esinx∫tantdt0(3)limx→0tanx∫sintdt0sinx∫tantdttan(sinx)⋅cosxtan(sinx)0解:lim=lim=limx→0tanxx→0sin(tanx)sec2xx→0sin(tanx)∫sintdt0xtan(sinx)无穷小tanxtan(sinx)=limlim⋅x→0xsin(tanx)代换x→0sin(tan
4、x)sinxtanxtan(sinx)ttant=lim⋅lim=lim⋅limx→0sin(tanx)x→0sinxt→0sintt→0ttanttant无穷小t=lim=limlim=1t→0sintx→0sint代换x→0t2x2x2t2⎛t⎞∫edt⎜∫edt⎟0⎝0⎠(4)lim或lim(书中习题有错误)x→x2x→0x202t2t∫tedt∫tedt002x2t4∫edt2xex0解:lim=lim=2x2x→02t2x→02x∫tedtxe0x2xx2222⎛t⎞⎛t⎞x⎛t⎞⎜∫edt⎟2⎜∫
5、edt⎟e2⎜∫edt⎟x2⎝0⎠⎝0⎠⎝0⎠2e或lim=lim=lim=lim=2x22x→0te2tdtx→0xe2xx→0xx→01∫0=x2−2′5.设F(x)∫(tx)f(t)dt,求F′(x)0第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理2/4《微积分A》习题解答=x2′−2x′解:F(x)∫0tf(t)dtx∫0f(t)dt,′=2′−x′−2′则F(x)xf(x)2x∫f(t)dtxf(x)0xx=−2x∫f′(t)dt=−2x[f(x)]=−2x[f(x)−f0()]00x−t26.求F(x)
6、=∫tedt的极值.02−x解:令F′(x)=xe=0,得驻点x=0,且当x∈(−δ)0,时,F′(x)<0,当x∈,0(δ)时,F′(x)>0,故x=0为极小值点,极小值为F)0(=0x∫tf(t)dt07.设f(x)为连续正值函数,证明:当x>0时,F(x)=为单调增加函数.x∫f(t)dt0xxxxf(x)∫f(t)dt−f(x)∫tf(t)dtf(x)∫(x−t)f(t)dt′=00=0解:F(x),x2x2⎛⎞⎛⎞⎜∫f(t)dt⎟⎜∫f(t)dt⎟⎝0⎠⎝0⎠x由假设,当00
7、,(x−t)f(t)>0,所以∫(x−t)f(t)dt>0,所以0F′(x)>(0x>)0,从而当x>0时,F(x)为单调增加函数8.计算下列定积分.33(1)∫xdx13331414解:∫xdx=x=3(−)1=2014419(2)∫x1(+x)dx491399222122711解:∫x1(+x)dx=∫(x+x)dx=(x+x)==454432664π4(3)∫secxtanxdxπ−4第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理3/4《微积分A》习题解答π4解:被积函数是奇函数,且积分区间关于原点对称,所以
8、∫πsecxtanxdx=0−432dx(4)∫1221−x332dx2π解:∫1=arcsinx1=1−x26222(5)∫1−xdx011211111222解:∫01−xdx=∫01(−x)dx+∫1(x−)1dx=(x−x)+(x−x)=+=12222003x(6)∫(x+)1edx2333xxxx32解:∫(x+)1edx=+∫(e+xe)dx=xe=3e−2e222⎧x2x∈)1,0[x9
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