高中数学 合情推理与演绎推理

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1、第五节　合情推理与演绎推理1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的________对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出___________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由_______到整体、由_______到一般的推理．全部一般结论部分个别(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些____________和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：类比推理是由特殊到________的推理．(

2、3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、______，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．类似特征特殊类比2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到_______的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．特殊1．归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么？【提

3、示】共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？【提示】演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．1．(人教A版教材习题改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－

4、1B．4n－3C．n2D．3n－1【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.【答案】C【解析】“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．【答案】A3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【答案】1∶85．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①由“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②由

5、“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③由“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；④由“

6、m·n

7、＝

8、m

9、·

10、n

11、”类比得到“

12、a·b

13、＝

14、a

15、·

16、b

17、”．以上结论正确的是________．【解析】因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为

18、a·b

19、＝

20、a

21、·

22、b

23、·

24、cos〈a，b〉

25、，所以④错误．【答案】①②【审题视点】由fn(x)＝f[fn－1(x)]分别求f2(x)，f3(x)，然后观察f

26、1(x)，f2(x)，f3(x)中等式的分子与分母，分母中常数项与x的系数相差为1，且常数项为2n.1．解答本题的关键有两点：(1)利用函数定义，准确求出f2(x)，f3(x)；(2)发现各式中分母x的系数与常数项之间的关系．2．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同本质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．【思路点拨】将等差数列中的乘法、除法分别类比成等比数列中的乘方、开方．1．进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解

27、题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维的类比；等差与等比数列类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－s

28、in(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．1．本题求解的关键有两点：(1)从特殊②式计算三角函数式的值；(2)发现三角函数中各个角之间的关系．2．题目着重考查归纳推理与演绎推理，通过观察个别情况发现某些相同的特征，抽象概括一般性结论；充分利用两角和与差的三角公式进行演绎推理，体现一般与特殊