浅议量子化条件

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1、浅议量子化条件周卫娟学号:2006623120（华中师范大学物理学院06基地班，武汉，430079）摘要：本文介绍了量子化条件提出的历史条件，分别从对应原理和驻波条件推导出量子化条件，然后给出证明玻尔索末菲量子化条件的几个例子，最后介绍量子化条件在量子力学中的应用。关键词：量子化条件；对应原理；驻波；能级1909年，卢瑟福的助手盖革和学生马斯顿在用α粒子轰击原子的实验中，发现α粒子在轰击时大约有八千分之一的概率被反射回来了。根据此实验事实，卢瑟福提出了“核式结构模型”。从这一模型计算微分散射截面，与实验符合得非常好。但是根据经典力学，带电粒子组成的体系是

2、不稳定的。按照卢瑟福模型，原子中电子在进行加速运动，因此会不断辐射能量，从而应该发生原子坍塌。但事实上没有出现这种现象。原子基态是出奇地稳定，没有辐射发现，这是经典力学无法解释的。此外，经典力学同样无法解释原子光谱的分立性。不同的光源有不同的光谱。到1885年，人们从光谱仪中观察到的氢光谱线已有14条。巴尔末在对这些光谱进行分析研究后，提出了一个经验公式。后来经里德伯改进，提出了一个普遍的方程~11'ν=R(−)=T(n)−T(n)（1）H2'2nn为了解释这些现象，玻尔提出了两点假设：①原子仅能稳定地处于分离能量（E,E,EK）相对应的一系列定态中，不

3、辐射能量；123②原子从一个定态到另一个定态时，也就是电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时，将吸收或发射电磁辐射，其辐射的能量等于两定态的能量差，其频率为ν=(E−E,)/h。nn为了确定电子的轨道，即分立能级相应的定态，玻尔提出了量子化条件，即电子运动的角动量是量子化的mvr=nh（n=1，2，3…）（2）后来，索末菲尔德推广了这一量子化条件，对于任何一个周期运动，有量子化条件Pdq=nh（n=1，2，3…）（3）∫ii其中q为广义坐标，P为广义动量。ii那么，玻尔稳定轨道量子化条件mvr=nh是怎样得到的呢？下面将从对应原理和驻波条件两个方向推导量子化条

4、件。首先从对应原理方向推导量子化条件。玻尔认为，在氢原子中，电子绕核沿圆轨道运动。电子轨道半径r，速率v和角频率ω间的关系是v=rω（4）原子核（电荷+e）对电子的库仑吸引力就是圆周运动的向心力。22ev2k=m=mrω（5）2eerr1其中k=4πε0因此232erω=k（6）me电子运动的总能量为2212e122eE=mv−k=mrω−k（7）ee2r2r利用（6）式，得到2221keeeE=⋅−k=−k（8）322rωr2r或138ω=()2(−E)2（9）4mee当电子从能级E跃迁到E时，按照频率规则，发光角频率为nn−1E−Enn−1ω=2πv

5、=（10）h而按照电动力学中的知识，发光频率等于轨道运转频率，即ω。n对应原理指出在原子范畴内的现象与宏观范围内的现象可以各自遵循本范围内的规律，但当把微观范围内的规律延伸到经典范围时，则它所得到的数据结果应该与经典规律得到的相一致。按照对应原理，在n>>1时，ω应趋于ω，即nE−E=hω→hω,n>>1（11）nn−1n2138h亦即E−E→()2(−E)2,n>>1（12）nn−14nmen>>1时，n的变化（∆n=1）远小于n本身，可以当作连续变化，因此∆EndEnE−E=∆E=→nn−1n∆ndn（12）式可当做微分方程213dEn8h22=()

6、(−E),n>>1（13）4ndnmee容易解出42meeeE=−=−（14）n2222nh2na0再利用（8）式，得到2ke2r=−=na（15）n02En2h其中a=为玻尔半径，即氢原子基态（n=1）的半径。（14）、（15）式是在条02mee件n>>1下得到的，如果认为这些结果也适用于n较小的情况，则它们就是氢原子能级和轨道半径的量子化公式。以L表示轨道角动量，利用（6）及（15）式，容易得到222222242enh22L=(mvr)=mωr=m=nh（16）eee22mee即L=nh,n=1,2,3K这正是量子化条件。当电子由能级E跃迁到E(m<

7、n)，按照频率规则，放光频率为nm4(En−Em)2mee11ν==2π(−)（17）nm322hhmn~11'和经验公式（ν=R(−)=T(n)−T(n)）比较，二者一致，并得里德伯常数的结H2'2nn构式2442πmemeeeR==（18）33ch4πch−1以上各基本常量之值代入上式，得到R的理论值为R=109737cm。严格的说，氢原子问mmep题是二体问题，求电子能级时应应用折合质量µ=代替上式中的电子质量m，这em+mep样得到氢原子光谱里德伯常数理论值为242πµe−1R==109677cmH3ch和实验符合得很好。下面再从驻波条件方向推导

8、量子化条件。λn直线弦振动形成驻波的条件是l=n(n=1,2,3K)。而按照波尔