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1、·西昌师·一九九六年第二期总第二十七期专学报量子化和第二次量子化何平叔一j二二前二国,,自从普朗克在热辐射理论中提出了辐射场(光子)的量子化以来量子化在物理学中尤其在微观客体领域无论在实际上与理论上都具有重大意义,成为物理学中最基础最普适的。,原理之一而且迄今已形成一整套完整的理论只有引力场的量子化理论目前正在进展而。不够成熟,,相比之下第二次量子化只是为了理解场的粒子性解释而提出来的在物理学中并设有重要的意义,但由于它不时出现在物理文献中,对它做个了解也是必要的。。本文对量子化问题作了严格的讨论.1一、昌召含二早J仆1.口。物理学中
2、的量子化分作两类,,,第一类为客体(主要对微观客体)状态的量子化如氢原子中核外电子的能量角动量。。自施角动量的量子化即通常的量子化第二类为粒子的量子化,为光子,电子,引力子等,通常称作第二次量子化。,,这部份讨论第一类基本的量子化问题描写物体或场的量子化理论在非相对论领域是,,,量子力学在相对论领域是量子场论后者除了要求场方程满足罗仑兹变换不变而外在量,,,子化理论上是一致的自然由于量子场论中饱含不同自旋的粒子场方程不止一个量子化,。工作更复杂一些但基本原理是一致的,。为了简单以量子力学为例去了解量子化的实质,,量子力学中由于粒子的波
3、粒二象性经典力学中用坐标动量(或角动量)描写粒子状态,。的方法不再适用同样经典力学状态函数拉格节日函数(或哈密顿函数)也不再适用而改x、、、,。用波函数小(ygt)描写粒子的状态同时哈密顿函数也改变成哈密顿算符相应的粒子,,的各种力学量(动量能量角动量坐标等等)用一种完全不同于经典力学的方法由波函数得。:出而波函数本身的物理意义是对归一化波函数其模方、、、`、、、、、、I申(xy:t)12=小(xyzt)申(xyzt)、、。7时刻在xy:)附近单位体积内找到粒子的率描写在位置点(,,,。对粒子力学量的确定首先是将力学量改变成算符为清楚
4、以动量为例改为动量算r30符,在直角坐标中xygP=pi+pJ+pk、刁分a分刁份=一ih(,十“)Jx丙而二一ih甲,:第二步求出它的本征函数和本征值动量算符的本征方程是、、、、p份(xyz)=P。(xyz):即一ih甲中二P中(A),。式中本征值庐是一个实常矢量。黍作p的本征函数很易求出它是、、x:①(xyz)二。P(x)中Py(z)中P(z)=e(p二x+pyy+p::)A亡i一一=Ae下P’:,,,,,如果粒子可以在整个空间运动xyz一coco)中变化即坐标均可在区间(那么方程,,。,()A中节取任何值(一coco)均有解那可
5、求得本征函数中但是即便对自由粒子而言虽,,然可以在很大的空间中运动但总可以认为是在有限空间中运动如果将其运动限制在边长很长的正方形箱式空间中运动,仍然足以描写自由粒子的运动,如果坐标原点取在箱的中心,箱边长为L,加上周期性边界条件例如对x轴,要求动量本征函数、c、、一-2z)一。(一Ly:)Ly鲁`即要求e一即,二。粼告糙呼即e六p:`=1因此要求_P_=n盯子LZ`二x~~“!,h了、、、n=0土1士2……盯n、2hx这样P二只能最间断值即L,。的整数倍通常谓之量子化了同样黔y:,对PP量子化使动量本征值P量子化,n,、、、:nP此
6、时。可写作。n=(nnyn)分。,别对应P的本征函数由于L可取任何,,,Z有限大的值对实际问题并无应用上的困难而且由于避免了{!中1d的交散应用上反。而更加方便,。第三步粒子动量的确定,n,a如果描写粒子状态的波函数中恰好等于动量算符的某一本征函数。即、、、·xn劝(yzt)=e=饥ce亡节节,。n。此时粒子的动量有确定值其值即为。的本征值P,n,。b如果小不等于任何一个中则可按中展开、、、少(xyzt)=艺味甄,、,。;Z此时粒子不再有确定的动理值而是可以取PP……等一系列值而取其中P的h率。对归一化币而言为n,.吻=}nC}Zn=
7、1、.2…。对不是归一化的情况类似只是由于乌不再分裂中对卿应作积分展开,其余力学量的确定完全类似例如能量算符(哈密顿算符)认2t二1__些一2土丫Tl_、11一石V丁口气1,`111,对给定的r=U()(例如氢原子核外电子势能U如果能求解其本征方程(对较复杂势能常求其近似解)。nnn中=E中。用与前面动量完全相同的方法确定粒子的能量值。以上的方法可以简单的推广到粒子系,,由上面不难知道在理论上描写力学量量子化的关键在于本征值的取间断值而这又起。。:源于力学量改变为算符从这一点可以建立普遍的量子化理论细分为两部份1.量子力学中量子化的普
8、遍理论;,一旦力学量改变为算符后正则变量正则动量和正则坐标的泊松括号即对易子,,—【ABl二AB一BA不再为O例如在直角坐标中单粒子体系x,、:一xf户]二户x=ih沪,。对yz相同为证明这点只要用它作用到任意函数中上*
