PTG_Thorough Thomson偶极子与电子自旋角动量的量子化条件

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1、Thomson偶极子与电子自旋角动量的量子化条件PTG_Thorough摘要本文首先由Maxwell方程组的内在对称性提出了磁荷(磁单极子)的存在性.然后详细讨论了最简单电荷—磁荷系统,Thomson偶极子,介绍了Thomson偶极子的电磁场角动量的性质及其在计算其他电磁体系角动量时的应用.最后利用Thomson偶极子的性质并结合量子力学的相关事实,运用Dirac当年的思想方法得到了电子自旋角动量的量子化条件.关键词:磁荷(磁单极子),Thomson偶极子,自旋角动量,Dirac弦1引言电子作为携带最小单位电荷的粒子,其存在性已经被人们广泛接受.与此同时,由

2、于电与磁的统一性和对称性,人们自然联想到是否存在携带最小单位“磁荷”的磁单极子.磁单极子的概念是由Dirac最早在1931年提出的.他用存在磁单极子为假设,解释了电荷自旋角动量的量子化条件.但到目前为止,人类为寻找磁单极子付出的巨大的努力均已失败告终.本文在第二部分中首先由Maxwell方程组的内在对称性提出了磁荷(磁单极子)的存在性.然后在第三部分中详细讨论了最简单电荷—磁荷系统,Thomson偶极子.分别用变量代换法与坐标系变换法两种方法计算了Thomson偶极子所产生的电磁场角动量,介绍了Thomson偶极子的电磁场角动量的性质.并以真实存在的物理系统

3、,磁偶极子—电子系统,为例介绍了在计算其他电磁体系角动量时,Thomson偶极子的电磁场角动量的实际应用.最后利用Thomson偶极子的电磁场角动量不随磁荷与电荷间的距离变化而改变的性质并结合量子力学中波函数的单值性,运用经典电磁场的规范不变性以及“Dirac弦”的思想得到了电子自旋角动量的量子化条件.[1]2磁荷的存在性真空中不包含电荷和电流区域的Maxwell方程组为:(1),将E换成B,同时将B换成E(1)00式中的前两个方程就变为后两个方程,这显示出Maxwell方程组的对称性.这种对称性将在引入电荷密度与电流密度J这种对称性就要被打破,这时如

4、果相应地引入磁荷密度和磁流密eem度J则可保持这种对称性.这时,Maxwell方程组应该写为:m(2).并且与电流一样,磁流也遵守连续性方程:.(3)磁荷最早来源于人们对自然界中磁现象的错误认识,后来在1931年由物理学家狄拉克在理论上预言了磁单极子的存在.直到目前为止,实验上并没有发现磁单极子的踪迹.但从理论上来讲,磁单极子的存在时完全有可能的,并且我们可以用磁单极子来解释诸如电子自旋角动量的量子化等物理学基本问题.因此研究电荷与磁荷的相互作用是非常有意义的.3Thomson偶极子3.1电磁场的角动量[2]由经典电动力学可知,电磁场作为一种物质也有其本身

5、的能量和动量,其动量密度为:.(4)[1]已知在经典物理中角动量,因此可以定义电磁场的角动量密度为:(5).对于整个电磁场体系的角动量,可以通过角动量密度对整个体系空间的积分得到:.(6)与刚体系统的角动量守恒定律有所不同,电磁系统的角动量守恒的条件不只是作用在电荷,磁荷上的总力矩为零而且外界向体系输入的电磁场的角动量也应为零.接下来我们来研究最简单的电荷—磁荷系统,仅涉及到一个电荷与一个磁荷的相互作用的Thomson偶极子系统的电磁场的角动量.3.2Thomson偶极子如图1所示,一个在A点的电荷e与一个在B点的磁荷g相距为a,所组成的系统叫做Thomso

6、n偶极子.图1Thomson偶极子在空间中一点P处的电场强度与磁感应强度分别为:(7),其中r为电荷到P点的径矢,r为磁荷到P点的径矢.由(4)式得P点的动量密度为:12(8)其中e为垂直纸面向外的单位向量.设n为沿着向外的单位矢量,z为Z轴方向的单位矢量,则r可以分解为rnz()z.由(5)式可得.(9)由于系统本身所具有的的旋转对称性,第二项在积分中为零,因此有:(10).为了计算体系的角动量,现在我们来计算体积微元d.在围绕Z轴的环形区域中易知(11).这样我们就可以使用(6)式计算Thomson偶极子系统的角动量.下面我们给出两种求解积分

7、(6)[1][3]的办法.第一种是变量替换法第二种是把体系用长球面坐标系中进行积分.在方法一中,由三角形的正玄定理可得:.(12)又已知rsin,把这两个关系式代入(10)和(11)两式中可得:11(13).221/2现设,rr和r(aar2rcos)代入(13)式并对全空间积分得:112111(14),设cosu则(15),易知,角动量是沿着Z轴方向的,则:.(16)[4]在方法二中,我们把体系放到以A、B两点为焦点的长球面坐标系(u,v,)中进行研究.其中为这个坐标面绕Z轴旋过的角度,urr以及vrr.这样可以得到1

8、221(17),由长球面坐标系的定义可得:(18),