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1、12.3 角的平分线的性质掌握角的平分线的性质和判定,能灵活运用角的平分线的性质和判定解题.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明有关角的平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.【重点】 角的平分线的性质和判定,能灵活运用角的平分线的性质和判定解题.【难点】 灵活运用角的平分线的性质和判定解题.【教师准备】 多媒体课件,直尺和圆规.【学生准备】 直尺和圆规.导入一:小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼,刚好位于一条暖气和天然气管道所成角
2、的平分线上的P点,如图所示,要从P点建两条管道,分别与暖气管道和天然气管道相连,怎样修建管道最短呢?新修的两条管道长度有什么关系呢?导入二:工人师傅常常用一种简易平分角的仪器(如图所示),其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗?[设计意图] 创设生活情境,通过学生熟悉的生活场景,提高他们探究数学问题的积极性,并从中体会数学的应用价值.导入三:【师】 前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗?学生思考回答.【师】 你会
3、作角的平分线吗?【生】 会.【师】 怎么作呢?【生甲】 用折纸的方法来作.【生乙】 用量角器来作.【师】 很好,这节课我们继续学习角的平分线的有关知识(板书课题).[设计意图] 通过简单的复习导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生学习的积极性.一、角平分线的画法 [过渡语] 刚才我们接触了平分角的仪器,其实这种平分角的方法告诉了我们作已知角的平分线的一种方法.教师引导学生作图:已知∠AOB,求作∠AOB的平分线.学生讨论作法.【教师总结作法】 (1)以O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N.(2)分别以
4、点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点P.(3)作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线.学生作图.【师】 你能说明OP为什么是∠AOB的平分线吗?学生进行交流,写出证明过程.教师巡回指导.【师】 当∠AOB两边成一直线时(即∠AOB=180°),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?【生】 垂直.【师】 你会作吗?学生小组操作.教师帮助学生过直线外一点作已知直线的垂线.师生共同探究作法:设已知直线为AB,直线外一点为C.(1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁;(2
5、)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;(4)作直线CF,直线CF就是所求的垂线.学生板演作图,集体纠正.[设计意图] 用学生自主操作和师生共同探究的方法激发学生的学习兴趣,唤起学生的参与意识.二、角平分线的性质和判定 [过渡语] 利用平分角的仪器我们掌握了画已知角的平分线的方法,下面我们共同探究角平分线的性质和判定方法.思路一如图所示,任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线,分别记垂足
6、为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上再取几个点试一试.【生】 相等.【师】 为什么?学生思考,小组讨论.你能证明这个结论吗?学生思考证明.【教师说明】 一般情况下,我们要证明一个几何命题,可以按照类似于以下的步骤进行,即:1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.教师找学生板演.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.证明:∵PD
7、⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°,∵OC是∠AOB的平分线,∴∠AOC=∠BOC.在ΔPDO和ΔPEO中,∴ΔPDO≌ΔPEO(AAS),∴PD=PE.集体纠正.【师】 你能总结这个结论吗?【生】 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等.[知识拓展] 利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,以后涉及角平分线上的点到角的两边的垂线段时,可直接得到其相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.【师】 谁能说出它的逆命题?【生】 到角的两边距离相等的点在角
8、的平分线上.教师引导学生思考教材第49页“思考”.如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20000)?【生】 四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题的结论.从实践中可知:角平分线上的点到角
