第八讲 指数函数和对数函数

《第八讲 指数函数和对数函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八讲指数函数和对数函数（2）-----对数与对数函数【基础回顾】一、基础知识：知识点一：对数的概念和运算性质1．对数：如果，那么b称为，记做；即：.由定义知负数和0没有对数.通常以10为底的对数叫做常用对数，记做；以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数。记做.2．对数的运算性质：3．对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.4．对数的恒等式：知识点二：对数函数的图像和性质1．形如y=logx(a>0,a≠1)的函数叫做对数函数．2．对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：　　　　　　　

2、　a>101时logx的符号为00,a≠1)与指数函数y=a(a>0,a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于对称．4．与对数有关的大小比较的基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量，4）化同底或化同指数，5）放缩法．二、基础自测：1．函数恒过定点.2．若函数f(x)＝，则f(log43)＝________.3.已知log7［

3、log3(log2x)］=0，那么等于.4.（2008·全国Ⅱ理）若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则.5.函数f（x）=ln（）的定义域为.6.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是.【典型例题】例题1：．计算：（1）；（2）2(lg)2+lg·lg5+；（3）lg-lg+lg；（4）已知用表示.解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解==(2+)-1=-1.（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+

4、

5、lg-1

6、=lg+(1-lg)=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245=(5lg2-2lg7)-×+(2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=.（4）应设法对数换底公式将换成以常用对数，并且设法将12与45转化为2、3来表示.例题2：（1）求函数f（x）=log［3－(x－1)2］的定义域、值域及其单调区间；（2）已知函数y=log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a的取值范围.解：（1）依题意得，3－(x－1)2>0，解得，∴定

7、义域为．∵真数3－(x－1)2≤3，∴log［3－(x－1)2］≥log3=－1，即f（x）的值域是［－1，+∞）.又3－(x－1)2＞0，得1－＜x＜1+，∴x∈（1－，1］时，3－(x－1)2单调递增，从而f（x）单调递减；x∈［1，1+）时，3－(x－1)2单调递减，f（x）单调递增.（2）因为(x)=x2-2ax-3在(-∞,a］上是减函数，在［a,+∞)上是增函数，要使y=log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，首先必有0＜a2＜1,即0＜a＜1或-1＜a＜0,且有得a≥-.综上，得-≤a＜0或0＜a＜1.

8、例题3：已知函数其中，设.（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；（2）若，求使成立的的集合.解：（1）由题意，得解得故的定义域为.的定义域为，关于数0对称，且故为奇函数.（2）由得即，解得所求的的集合为例题4：已知函数，又，求证：（1）时，对一切均有意义，反之，若对一切均有意义，则；（2）当时，求的最小值；（3）求证：对每个，的最小值都不小于1.证明（1）先将f(x)变形f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，故f(x)的定义域为R反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x

9、2－4mx+4m2+m+>0，令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M（2）解设u=x2－4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小而u=(x－2m)2+m+，显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值（3）证明当m∈M时，m+=(m－1)++1≥3，当且仅当m=2时等号成立∴log3(m+)≥log33=1【巩固练习】1．（2010年高考湖北卷文科5）函数的定义域为．2．若函数f(x)=logax(2≤x≤π)的最大值比最小值大1，则a=_____

10、___________．3．若函数f(x)=loga

11、x+1

12、在（－1，0）上有f(x)>0，则f(x)的单调增区间为．4．若log4x(9x－2)>0，则x的取值