第8讲 指数函数 对数函数和幂函数

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1、第8讲指数函数、对数函数和幂函数竞赛热点1．指数函数的定义：函数叫做指数函数。（1）自变量出现在指数位置上，函数定义域是R；（2）常数满足且；（3）函数都不是正整数指数函数。2．指数函数的图象和性质：图象性质定义域：R值域：图象过点，即当时，在R上是增函数在R上减函数（1）函数和的图象关于轴对称；（2）右图为四个指数函数的图象，则3．对数函数的定义：函数叫做对数函数；它是指数函数的反函数。对数函数的定义域为，值域为4．对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：R过点即当时，当时，当时，当时，当时，在上是增函数在上是减函数（1

2、）函数和的图象关于轴对称；（2）右图为四个指数函数，，，的图象，则解题示范1．若集合非空，则实数的取值范围为。A．B．C．D．以上答案均不对思路分析：设，则问题转化为二次方程在限定区间有根的问题。解令，则问题转化淡关于的方程…①在区间内至少有一实根。从反而考虑方程在内没有实数根的情形。考虑到，故不可能有两根均小于2或者大于4的情形，则必有一根大于4，一根小于2，又因为故可得一地是方程①在内有实根等价于点评：此题也可以考虑运用分离参数法求解。，于是题设等价于，其中Z为函数的值域。例2：不等式的解集是。思路分析：此题属于含有绝对

3、值号的不等式，可以借助于区间讨论的方法求解。若抓住题目的特点，运用绝对值不等式中取到不等式的条件，则可大大简化求解过程。解：当与异号时，有，则必有，从而，解出所以不等式的解集为引申：不等式；；；例3：已知函数，将的图象向右平移两个单位，得到函数，而函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式。设，若已知的最小值是，且，求实数的取值范围。解：显然设点是函数上任意一点，点关于的对称点是由于函数与函数的图象关于直线对称，所以点在函数的图象上，也即所以于是要求的取值范围，可以通过构造关于的不等式来获得解答。若先求出的最小值，再令其大

4、于即可。为求的最小值，注意到的表达式形同，所以可以考虑从（即和）的正负入手。（i）当，即，由的值域均为可得.这与矛盾；（ii）当，即时，是R上的增函数，此时无最小值，与题设矛盾；（iii）当，即时，是R上的减函数，此时也无最小值，与题设矛盾。所以由（i）（ii）（iii）可得，当，即时，，等号当且仅当，即时成立.由及可得解得引申：视函数的解析式为方程，则函数的图象即为方程的曲线，于是函数和解析几何取得了联系。从这个角度来讲，解析几何中研究曲线与方程的许多方法可以移植到函数中，反过来，在许多时候，函数的知识也可以指导解析几何问

5、题的解决。涉及函数的问题曾在高考和竞赛中多次出现，望能熟练掌握其下述性质：①当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为和；②当时，函数在和上单调递增。本题的第（2）小题也可以从另一个角度考虑：“的最小值是且”，也就是说恒成立。例4：已知且，试求使方程有解的的取值范围。解：由对数函数的性质可知，原方程的解应满足①②③当①、②同时成立时，③显然成立，因此只需联立解①、②即可。由①得④当时，由可知④无解，因而原方程无解。当时，④的解为，⑤将⑤代入②得当时得，即.当时得，即综合可得时原方程有解。点评：原方程等价于，记。则是双曲线在

6、双曲线上方的部分，其渐近线为，是一条在轴上截距为的直线，且平行于双曲线的一条渐近线，当与有公共点时原方程有解，于是可以借助于图象得知，或由得或即当时原方程有解。例5：已知，其中（1）求出的反函数；（2）若实数满足，求的取值范围。思路分析：欲求，需先求出的定义域和值域；求解不等式时，若能论证出为奇函数，并探讨出的单调性，则可以摆脱符号的束缚。解：（1）由于，所以函数的定义域为R。令，则在上单调递增，此时的取值范围为当时，，因此若令，则由，则可知，此时的取值范围为又时，，所以函数的值域为所以函数的值域为R。再设，则，利用与互为倒

7、数，可得，所以.所以（2）首先考察的奇偶性与单调性。任取，则，所以函数为奇函数。任取且，则由及指数函数的性质可知，所以，即，所以在定义域内单调递增。于是由得，即结合的单调性可知，上式等价于，解得或点评：①定义域是研究函数的基础，求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发。②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域的常用方法。例6：已知函数，对定义域内的任意都有成立。（1）求实数的值；（2）若当时，的取值范围恰为，求实数的值。思路分析：按照方程的观点分析，根据已知条件即可建立关于的一元方程，从而求得.第（

8、2）问实质上是一个值域的问题，可以通过研究函数的性质来解决。解：（1）由可得，，解得，当时，函数无意义，所以只有（2）当时，，其定义域为。所以或①若，则任取，且，则，又因为，所以，即所以当，在上单调递减。由题可知，当时，的取值范围恰为，所以必有且，解得（因为，所以舍去）。②若，则.又由于，