第五讲幂函数、指数函数、对数函数

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1、第五讲函数与方程1・幕函数【例1】手机产业的发展催生了网络新字“孑F'.某学生准备在计算机上作出英对应的图像，其中A(2,2),B(3,2+V2),如图所示.在作曲线段AB时,丄该学住想把函数J=XSX6［O,1］的图像作适当变换，得到该段函数的Illi线.请写出曲线段AB在兀丘［2,3］上对应的函数解析式•丄解：j=x2,xe［O,l］单调递增，图象的两端点为(0,0),(1,1),变换后的端点(0,0)变为(2,2),(1,1)变为(3,2+血),则需纵向拉伸和向上平移,所以，设兀丘［2,3

2、］时，对应的解析式为：J=a(x-2)2+2?丄将(3,2+血)代入，得：血+2=°(3-2)2,解得：aW丄/.y=>/2(x-2)2+2【变式】手机产业的发展催生了网络新字“打"•某学生准备在计算机上作出其对应的图像，英中4(2,2),如图所示.在作1111线段时，该学生想把2函数j=xSxg［0,2］的图像作适当变换，得到该段函数的曲线.请写岀曲线段AB在xw［2,3］上对应的函数解析式.2iA；ii1、02?【例2】幕函数j=当。取不同的正数时，在区间［0,1］±它们的图象是一簇美丽的曲

3、线(如图)，称这簇曲线为“幕族曲线”,设点A(l,0),B(0,l),连接AB,线段AB恰好被其中的两条幕族曲线丿=工"和丿=兀0三等分，即有==另直么ap=。.1221解：由已知得M(—9—hN(—厂)，因为M、N分别在y=xa和3o才<1?y171y=的图象上，所以—=—9—=亍即Q=log】丁90=log?亍・••妙=log

4、flog2*=l3S3$【例3】若/(X)=x5-,贝ij满足f(x)<0的x的取值范围是.2_1【解析】/(x)<0=>x3

5、取值范围是(0,1)【例4】若函数/(x)=x2+x^-4的零点加w仏g+1),a为整数，则所以满足条件。的值为0【解】1或一22.指数函数的图象与性质【例1】若函数/(X)=r,X<0贝IJ函数y=f[f(x)]的值域是-2"x,x>0(n(\解:・・・/s)w(-i,o)u(o,i),设心于(兀)，则八疋-1,--u-,i(\(\即f[f(x)]e-1,-4Uk2丿丿,3—Qx+5・0WxWl【例2】已知函数/(x)为偶函数且/(x)=/(x-4),又/(工)=2~2x+2'x,l

6、<2(]屮I函数g(x)=-+a,若F(x)=f(x)~g(x)恰好有4个零点，则a的取值范围是2丿19【答案】2—⑴，解得：2vaV空[g⑶v/(3)8y【例2】已知实数唄满足等式出下列五个关系式:①0

7、af(c)>f(b)f则下列结论中，一定成立的是()AmvO,〃vO;C<0;B.a<0,ft>0,c>0;C.2~a<2C;D.2a+2C<2解:作出函数y=f(x)=2X-1的图象,因为a/(c)>f(b)结

8、合图象知,f(a)/(c),・•.l-2fl>2C-1,・・・2“+2*2,选D。【例4】设函数兀）=ax+-c",其中c>a>0,c>b>0.（1）记集合M=｛（a,b,c）a,b,c^能构成一个三角形的三条边长，且a二b｝，则（a,b,c）wM所对应的/（X）的零点的取值集合为o（2）若d,»c是AABC的三条边长，则下列结论正确的是.

9、（写出所有正确结论的序号）®Vxg（-8,1）J（兀）>0;②玉eR,使好,bc'不能构成一个三角形的三条边K;③若AABC为钝角三角形，则3xg（1,2）,^（x）=0.解：(1)(0,1]由题知c>a,c>a+b-2d,^/(兀)-2tz'—cx-cv[2(—)'—1]=0=>(―)v=2^x=c611】上prIn7=>->2•又vln->ln2>0=>——>aaIn2In2]cln-a>0,/.x=In2G(0,1]o所以yu）的零点集合为（o,i]（2）①②③解：f（x）=cx[（^y