第七讲指数函数和对数函数

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1、第七讲指数函数和对数函数（1）-----指数与指数函数【基础回顾】一、基础知识：知识点一：幂的运算1．根式的定义：若一个数的次方等于，则这个数称；即若，则称（．①当为奇数时，次方根记作；②当为偶数时，负数，而正数有，记作．2．根式性质：①；②当为奇数时，；当为偶数时，．3．幂运算法则：①N*)，②；n个③，④、N*且．4．幂运算性质：①、Q）；②、Q）；③Q）．注：上述性质对r、R均适用．知识点二：指数函数的图像与性质指数函数的图象和性质：a>10

2、则方程的解为．3.已知x+x-1=3,则=．4.当x＞0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是．5.若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．6.已知：．【典型例题】例题1：（1）计算：；（2）已知a=,b=9，求：的值.解：（1）原式；（2）=.÷［a·］==a.∵a=，∴原式=3；例题2：求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）；（2）.解：（1）依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，

3、+∞），∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1,∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.∵u=,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，f（x）=3在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.（2）由g(x)=-(∴函数的定义域为R。令t=(x(t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立条件是t=2,即g(x)≤9,等号成立条件是(=2，即x=-1，∴g（x）的

4、值域是（-∞，9］.由g(t)=-(t-2)2+9(t＞0),而t=(是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.例题3：已知定义域为的函数是奇函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以，即又由知（Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知

5、，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式[解法二]由（Ⅰ）知．又由题设条件得：，即，整理得，上式对一切均成立，从而判别式【巩固练习】1．函数(，且)的图象必经过点．2．化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）=；（2）=．3．函数y=ax（a＞0,且a≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大，则a的值是．4．已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．5.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f(x)＝ax·g(x)(

6、a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若＋＝，则a等于________．6.(2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－

7、x

8、，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为________．7．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________.8．设mn>0，x=，化简：A==.9．（2009北京理）若函数，则不等式的解集为.10．若函数的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是.11.求下列函数的单调递增区间：（1）y=

9、(;(2)y=2.12．设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.13.对于函数.（1）求函数的定义域；（2）当为何值时，为奇函数；（3）讨论（2）中函数的单调性.14．已知函数f(x)=（ax-a-x）(a＞0，且a≠1).（1）判断f(x)的单调性；（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m2)＜0的实数m的范围.【拓展提高】★1．函数f(x)=x2